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所有这些证法都引发了两个问题。第一个问题是：一种证法难道还不够吗？我们都知道一种用途是远远不够的——一个法则，最关键之处在于它能适用于各种不同的情形。但是证明呢？只有毕达哥拉斯定理的几个证明是对欧几里得已经证过的问题进行概括和充实。然而，卢米斯所收集的证法中的绝大部分都不是这种类型。而且这些证法也没有使这些已经很明确的结论变得更明确。但除了发现本身之外，证明的迷人之处还在于观察发现可能采用的视角。这样一来，那些隐藏的可能性和假定的结果就可以成为事实。科学的目的是使世界变得更加丰富，拓宽其外在表现形式，阐述世间事物的本质。随着科学的进步，世界的范围也在拓宽。
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第二个问题是：为什么人们会把注意力集中到这样 一个特殊的定理上？为什么几千年来它令业余爱好者和专家学者如此着迷？一部分原因归于个人的经历：毕达哥拉斯定理是大多数人第一次接触到的深刻证明，其结论在证明之前并不是显而易见的，正如霍布斯当时的情形。这是人们的第一次数学发现之旅，从另一头出发发现了崭新的事物。很早的时候，人们也发现了其他的一些漂亮的证明，例如2的平方根是无理数，素数有无限多个等，所以这只能是答案的一小部分。人们也知道一些与毕达哥拉斯定理类似，却更加高效、更加有用的定理（如欧几里得《几何原本》第6册中的命题31）。不过这些定义远没有毕达哥拉斯定理那般引人注目。一个明显的例子就是余弦定理：c2＝a2＋b2－2abcosθ。该定理适用于包括直角三角形在内的所有三角形，涉及三角形的两条边和一个角的余弦。毕达哥拉斯定理只是余弦定理的特例。然而，余弦定理没有什么迷人之处，部分原因可能是要证明它就得熟悉三角，所以很难想象霍布斯那样的人会因为这样一个定理就发生什么转变。
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要完整回答毕达哥拉斯定理的魅力得从三方面着手：定理的应用场合是显而易见的；定理的证明是可行的；证明定理的过程提升了人们思考问题的高度，让人们体会到了思考的乐趣。
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首先，毕达哥拉斯定理刻画了空间。它不仅适用于木工手艺、建筑学、物理学和天文学，也适用于几乎所有的职业领域和实际应用场合。在三维空间中，用毕达哥拉斯定理表示的距离表达式是，例如鞋盒的对角线；在四维的欧几里得空间中，距离的表达式是；采用爱因斯坦广义相对论的闵可夫斯基解释，四维时空版本的距离表达式是，其中c是光速。对上式进行适当变形，就能得出描述物体中分子三维运动情况的热力学方程。毕达哥拉斯定理还可用于广义和狭义相对论。狭义相对论用它描述观察者在某一参考系中观察另一参考系中光线传播的路径。广义相对论复杂一些，人们用它描述光线在弯曲的四维时空面上传播的情形。该定理在更高深的数学中得到进一步推广。伊莱·马奥尔（Eli Maor）在其所著的The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History［18］一书中称毕达哥拉斯定理是“数学中最常用的定理”。［19］这不仅是因为该定理有着直接的应用，也与马奥尔把它称为“毕达哥拉斯定理幽灵”有关。其他的许多表达式都是直接或间接由毕达哥拉斯定理推出来的。一个例子就是著名的“费马大定理”，最终于1994年证明。其内容是对大于2的任何整数n，方程an＝bn＋cn（所有变量都是正整数）均不能成立。该定理是否定性的，没有断言恒等关系的成立，所以无法用方程形式表示。
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其次，霍布斯的经历表明，即使毕达哥拉斯定理包含了一些在证明伊始看似难以置信的数学知识，人们也可以在没有接受过任何数学训练的情况下，用简单而又令人信服的方式加以证明。这也正是自柏拉图以来的哲学家和科学家将其作为推理典范的原因所在。在《世界体系》（On the World Systems）一书中，伽利略援引毕达哥拉斯的证法，解释了事实与证明之间的差别（现在称为发现与证实之间的差别）［20］。在《指导心灵的规则》（The Rules for the Direction of the Mind）一书中，法国哲学家、科学家雷内·笛卡儿（Rene Descartes）援引毕达哥拉斯定理，说明了采用符号和记号的好处，并把它们引入到了数学中。黑格尔认为“证明高于一切”。证明阐述了几何学的意义，使它以科学的方式继续发展。对黑格尔而言，就是如何表明相同之中有不同［21］。德国哲学家亚瑟·叔本华（Arthur Schopenhauer）是欧几里得证法的批评者之一。叔本华认为该证明具有典型性是有另外的原因的。他嘲笑这种证法就好像是“捕鼠器”，先是诱导读者，之后再给他们“下套”。他认为证明的逻辑性虽然没有问题，但是过于复杂，显得不够直观（叔本华本人喜欢直观的证明）。他认为欧几里得的证明就是一个典型的误导读者的例子。实际上，叔本华认为欧几里得给出的毕达哥拉斯定理的证法是违背 当时哲学观的一个典型，它过于强调纯粹的逻辑，把逻辑置于洞察力和后天直觉之上。在叔本华看来，黑格尔的哲学体系在概念上不过是一个巨大的捕鼠器［22］。
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再次，毕达哥拉斯定理让人们了解了发现的全部。人们在证明该定理的时候，可以说并没有“学到”什么东西，因为我们从小就知道毕达哥拉斯定理。但是当证明一步步地进行下去时（当人们把问题放在一个大背景下，当细枝末节相互因为必然整合到一起时），人们似乎离开了原地，去了另外一个地方。那里是一个比现在要古老得多的真理王国，不管人们身在何方，只要付出一点努力就能到达。在那里，直角三角形不再是特殊的，所有事物都是相同的，人们无需从头证明就能了解到这一点。三角形只是一个特例，在它的后面隐藏着别的事物。这种体验是愉悦的，甚至是令人兴奋和难忘的。证明是以先前未有的语言形式给出的问题答案。令人不可思议的是，这种语言在你感觉已掌握它的那一瞬间便出现了。如果没有那一刻的洞察力，毕达哥拉斯定理就仍然是代代相传的权威，而不能成为一个有深刻见解的证明。
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《美诺篇》（Meno）中的毕达哥拉斯定理
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毕达哥拉斯定理有如此之魅力的原因有三点。柏拉图在对话《美诺篇》中已经对这三点进行了明确的阐述。该书成于约公元前385年（毕达哥拉斯之后约100多年，几乎早于欧几里得的《几何原本》100年），是已知的最早、最有名和最复杂的叙述毕达哥拉斯定理证法的书。它第一次广泛地阐述了古希腊现存的数学知识。书中叙述了苏格拉底如何哄骗一个不懂数学的奴隶小孩证明毕达哥拉斯定理的一个特殊情形——等腰直角三角形。
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主要参与者是苏格拉底和美诺。美诺是一个英俊的塞萨利青年。他性格急躁，拒绝思考难以理解的想法，总是希望答案能令人印象深刻。对老师来说，这简直就是噩梦。在如何学习美德的问题上，美诺让苏格拉底极为苦恼。苏格拉底发现想让美诺思考是件很难的事，真是人如其名，他的名字的意思就是“不让步”或者“不回头”。“教育”一词字面上的意思是“出发”。苏格拉底发现自己没法引领美诺。
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有一次，美诺认输了，并问苏格拉底，怎么可能把所有的知识都学到手。这就是著名的美诺悖论。如果你不知道自己要学的是什么，那么即便你遇见它也还是会与它擦肩而过。但是，如果你已经知道了，那何需费力去寻找呢？美诺意指任何尝试都是没有结果的。
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正如今天的哲学家所说的，美诺悖论之所以会产生，是因为他错误地假定知识是相互分离的。实际上，人们正是因为有了现在的知识，才会去注意那些未知的知识。用已知去发现未知，就能拓宽知识的范围，使知识体系更加充实连贯，消除知识间的隔阂。但该过程会不可避免地引入一些新的漏洞和缺陷。获取知识的过程并不是把别人给自己的东西都一股脑地扔到思想库中去。它是一种在部分和整体之间不断反复的过程，基于已知发现新事物，扩大人们赖以理解世界的基础。
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当然，苏格拉底教育美诺采用的并不是这种方式。那么深奥的道理是美诺不能理解的。他深知年轻人易于上当的特点，所以采用了一种哄骗的方式。苏格拉底是这么说的：“我告诉你一个圣人都信奉的传说吧。他们说灵魂是不朽的，所以看见并了解了世间的万物。因此，其实人们的内心深处早已了解了所有的一切，但是因为在尘世间停留的时间短暂，把它们全忘却了。如果人们的精力允许，就应该克服这种无知，重新了解一切。”
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苏格拉底通过这样一个传说，以一种诗意的方式告诉美诺，学习既不是被动接受其他人传授给你的知识，也不是不假思索就去相信法则。学习是精力集中的主动过程，需要激励自己去发现，始终保持主动的思维。当你发现某个事物是对的时，就会发现它似乎早已在那里，是知识体系中的一部分，只是自己没有注意到罢了。它深深地印刻在你的头脑中，就好像你早就知道了一样。为了学习知识所作的准备、练习和证明只是让你想起知识。这正是比喻的真谛。
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美诺很喜欢这个传说。但他还没有把握住关键，请苏格拉底加以解释。苏格拉底用了一种新的办法为美诺进行实际演示。他让美诺叫来一个奴隶，“随便叫一个就行”，美诺答应了。之后，苏格拉底就哄骗这个没有受过任何数学训练的奴隶小孩来证明这样一个几何定理：以某个正方形的对角线为边构成的正方形的面积，是该正方形面积的两倍。这其实是毕达哥拉斯定理在等腰直角三角形情况下的形式。苏格拉底在沙子上一步步画出图形，让美诺仔细听好并进行监督，防止他加进任何数学信息，以保证这个小孩最终得到的结论“只是被他自己回想起为的”，而不是被别人灌输进来的。
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现在的读者会认为后面所发生的肯定是骗局。他们会认为苏格拉底在幕后操纵，愚弄奴隶小孩，让他跟着做口形对词。现代人觉得把学习看作回忆是很荒谬的。他们认为，真正的学习是把新的信息“下载”到大脑中，之后辅以作业练习进行强化。但是如果仔细去读柏拉图的书，就会发现奴隶小孩的学习才是真正的学习。他学习的所有内容都能回归到最基本的知识。苏格拉底保证所有新的认识都是基于奴隶小孩已有的经验。在这里，我们看到的是奴隶小孩正走在学习毕达哥拉斯定理的小小旅途中。可行的途径有千万条，应该走哪一条呢？苏格拉底告诉他该走哪条路，并给他选择道路的动力。
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“知道什么是正方形吗？”苏格拉底在沙上边画边问，“是像这个，四条边都相等的图形吗？”奴隶小孩说：“是的。”
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苏格拉底又问：“那你知道怎么把正方形的面积变成之前的两倍大小吗？”
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“当然知道了，”奴隶小孩回答，“把边长都变成原来的两倍就行了。很显然的事情！”
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这自然是错的，不过苏格拉底仍然不露声色。一个好的老师应该让学生自己看到错误的所在。当奴隶小孩把正方形所有的边都变成了原来的两倍后，马上就发现自己错在哪里。新的大正方形的面积是原来的四倍，而不是两倍。
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而苏格拉底只是说：“再试一试。”奴隶小孩就把边长变成原来的1.5倍。苏格拉底画出图形之后，小孩马上发现自己又错了。
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苏格拉底于是问小孩知不知道怎么才能把正方形的面积变成原来的两倍。很有意思的是，苏格拉底这么做其实是为了美诺。小孩说：“我不知道。”
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关键的时刻来了。第一，苏格拉底让奴隶小孩第一次发现了自己知识的有限，让他知道了还有自己不知道的事情。第二，他摧毁了小孩的自信心。小孩之前一定认为自己什么都知道，然而现在他明白了事实并非如此。当然，奴隶小孩也并非一无所知。他知道的并不少——问题的答案限定在一个很小的范围之内，比边长要大，比边长的1.5倍要小——这一点小孩虽然知道，可无法表达出来，这给他一种不好的感觉。答案已经有眉目了，可就是无法表达。这是因为奴隶小孩并不知道描述答案的语言。他起先认为自己有能力理解这样一个问题，可现在却发现事实并非如此，这令他很不舒服。这种困惑激起了好奇心，而好奇心是学习所必需的。他渴望自己能得到指引，准备踏上学习的旅程。他渴望去发现 和思考 。在方程诞生的过程中，读者将会反复看到这种渴望所起的作用——引导人们去探索新的事物。有时候引发这种渴望的只是一个偶然事件，比如落下的一个苹果、随口说出的一句话、难以理解的数据，或是两个理论间的不一致等。苏格拉底使小孩变得困惑，令他想要跟随自己（一种“引诱”，这在当时可以被看成一种罪行，足以立马让苏格拉底受到控告并被判处死刑）。
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苏格拉底利用了小孩的困惑。他擦去了先前的图形，重新画了一个正方形，边长为2英尺。他又在正方形的旁边画了三个相同的正方形。之后苏格拉底在图形上加了一个新元素——连接两个对角的一条线，“学者称它为对角线”。对角线并不是全新的元素。奴隶小孩之前在地板的马赛克和墙面设计上已经看到过（这种体验已经告诉它接下来会发生什么），现在只是回忆一下。但在这里对角线却变成全新的了。它一下子就把问题置于更加广泛丰富的情境中，使问题的答案变得显而易见。由此，问题得到了重新的表述。
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苏格拉底“乘胜追击”，很容易地就让奴隶小孩发现以对角线为边构成的正方形的面积是原来正方形面积的两倍。