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“知道什么是正方形吗？”苏格拉底在沙上边画边问，“是像这个，四条边都相等的图形吗？”奴隶小孩说：“是的。”
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苏格拉底又问：“那你知道怎么把正方形的面积变成之前的两倍大小吗？”
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“当然知道了，”奴隶小孩回答，“把边长都变成原来的两倍就行了。很显然的事情！”
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这自然是错的，不过苏格拉底仍然不露声色。一个好的老师应该让学生自己看到错误的所在。当奴隶小孩把正方形所有的边都变成了原来的两倍后，马上就发现自己错在哪里。新的大正方形的面积是原来的四倍，而不是两倍。
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而苏格拉底只是说：“再试一试。”奴隶小孩就把边长变成原来的1.5倍。苏格拉底画出图形之后，小孩马上发现自己又错了。
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苏格拉底于是问小孩知不知道怎么才能把正方形的面积变成原来的两倍。很有意思的是，苏格拉底这么做其实是为了美诺。小孩说：“我不知道。”
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关键的时刻来了。第一，苏格拉底让奴隶小孩第一次发现了自己知识的有限，让他知道了还有自己不知道的事情。第二，他摧毁了小孩的自信心。小孩之前一定认为自己什么都知道，然而现在他明白了事实并非如此。当然，奴隶小孩也并非一无所知。他知道的并不少——问题的答案限定在一个很小的范围之内，比边长要大，比边长的1.5倍要小——这一点小孩虽然知道，可无法表达出来，这给他一种不好的感觉。答案已经有眉目了，可就是无法表达。这是因为奴隶小孩并不知道描述答案的语言。他起先认为自己有能力理解这样一个问题，可现在却发现事实并非如此，这令他很不舒服。这种困惑激起了好奇心，而好奇心是学习所必需的。他渴望自己能得到指引，准备踏上学习的旅程。他渴望去发现 和思考 。在方程诞生的过程中，读者将会反复看到这种渴望所起的作用——引导人们去探索新的事物。有时候引发这种渴望的只是一个偶然事件，比如落下的一个苹果、随口说出的一句话、难以理解的数据，或是两个理论间的不一致等。苏格拉底使小孩变得困惑，令他想要跟随自己（一种“引诱”，这在当时可以被看成一种罪行，足以立马让苏格拉底受到控告并被判处死刑）。
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苏格拉底利用了小孩的困惑。他擦去了先前的图形，重新画了一个正方形，边长为2英尺。他又在正方形的旁边画了三个相同的正方形。之后苏格拉底在图形上加了一个新元素——连接两个对角的一条线，“学者称它为对角线”。对角线并不是全新的元素。奴隶小孩之前在地板的马赛克和墙面设计上已经看到过（这种体验已经告诉它接下来会发生什么），现在只是回忆一下。但在这里对角线却变成全新的了。它一下子就把问题置于更加广泛丰富的情境中，使问题的答案变得显而易见。由此，问题得到了重新的表述。
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苏格拉底“乘胜追击”，很容易地就让奴隶小孩发现以对角线为边构成的正方形的面积是原来正方形面积的两倍。
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左图是苏格拉底首先画出来的，该正方形的边长为2英尺。苏格拉底问奴隶小孩如何使正方形的面积变成原来的两倍。奴隶小孩先是说把正方形的边长加倍，变成4英尺。不过这样一来，正方形的面积就变成了原来的4倍。然后他又说把正方形的边长变为之前的1.5倍（增加1英尺），可最终得到的正方形的面积还是太大，为9平方英尺。在右图中，苏格拉底引入了对角线。奴隶小孩此时认识到由对角线所围成的图形的面积恰好是原来正方形面积的2倍
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他转向美诺，试着用另一种方式教育他。他问美诺：“奴隶小孩是不是一开始不知道，后来才知道的呢？”“是的。”美诺承认了。“我向奴隶小孩灌输什么了吗？”“没有。”“那么他是自己找到答案的吗？”“是的。”“这些新出现的思想虽然是新的，现在却梦幻般地成为了现实，”苏格拉底继续说，并提出更多的问题。这样的提问会让学到的知识牢靠而不会忘记。无论他身在何方，这些知识都是他宝贵的财产，并且他所掌握的知识是正确的，跟别人的没什么不同。（人们把这样的问题叫作“作业和练习”。）如果我们坚持认为美诺悖论是正确的，那么奴隶小孩要么知道，要么不知道。这样一来，即便他知道了也会遗忘，就像传说中说的那样。“是的。”美诺表示认可。苏格拉底说：“我不会断言传说中的一切都是对的，但是我相信它里面一定包含一些真理。”
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美诺现在也认可学习是可能做到的，于是话题转向了一开始提出的关于美德以及如何传授美德的问题。于是，苏格拉底和美诺开始讨论谁适合来传授美德。他们很快就发现找不出合适的人选。无论是品德良好的公民，还是备受尊敬的城市统治者都不合适。此时一位有钱有势，名叫安尼托的雅典人加入了他们的讨论。安尼托听说苏格拉底认为连品德良好的公民都不能理所当然地成为传授美德的老师之后，颇为生气。他警告苏格拉底不要“说人们的坏话”。实际上，若干年之后控告苏格拉底的人当中就有安尼托。苏格拉底被判处死刑。
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在这场“戏中戏”中，我们能看到很多。你其实也是在一场旅途中。我们看到毕达哥拉斯定理在自己面前产生。我们看到了奴隶小孩学习毕达哥拉斯定理的过程。我们看到苏格拉底在引导小孩，但是小孩可被引导的前提是他自己有主动性。我们看到美诺也处在旅程中，看到小孩从无知到掌握知识。我们看到了求知的过程：遇到困难停滞下来的时候，可以添加新的元素，丰富原有的知识库。那条新的线（对角线）起先是没有的。但是它一旦出现，就变得和其他线一样明显，丰富了知识库，令解决问题的途径变得清晰起来。这是有史以来第一次系统准确地描述亲身体验教育的记录。
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除此之外，柏拉图也告诉我们自身的处境。这出“戏中戏”向我们暗示，我们自己其实与奴隶小孩的情况类似，然而却未有幸得到苏格拉底的指点——没有人向我们提出正确的问题，帮助我们学到正确的新知识。在一定程度上，人类的处境会激发出隐含的问题，令自己产生不舒服的感觉。幸运的话，机会就会像对角线那样出现。但是，要对答案加以描述，往往需要一种之前不为人知的语言。这样一来，就得预先设计好这种更加精细的语言。我们得像小帕斯卡那样学会怎么去添加那条对角线。柏拉图还告诉我们，要不断地提问题。人们一般习惯于把学到的知识固定下来，所以总是存在着真理变成虚幻，现实变成梦幻的危险。这就是苏格拉底公开抨击《斐德罗篇》（Phaedrus）的原因所在。他把《斐德罗篇》几卷书称为已经无法答话的“鲜活语言的遗孤”。唯一的办法就是不断提问，不断对经验提出质疑，并保持好奇心。
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柏拉图还有最后一个法宝。他通过一件事情指出，人们在努力的过程中，常常会遇到两种危险。第一种危险就是因为学术懒惰造成的惯性，即现代版的美诺，他们认为人无法真正学到知识。人所能做的就是对已有的知识体系缝缝补补，哪怕这知识是新的，也不过是一种推断。第二种危险来自政治家及其党羽，即现代的安尼托。他们告诉我们爱国心和对统治者的忠诚重于科学上的发问。这两种人都是在否定人类的文化成就，只是方式不同。对第一种人，需要保持耐心；对第二种人，得小心谨慎，有时甚至要顺从他们。《美诺篇》是留传至今的情节最为复杂的一个短篇文学作品，柏拉图用学习毕达哥拉斯定理的故事告诉人们，通向真理的路途比人们通常所认为的要困难和危险得多。
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历史上最伟大的10个方程 [:1701051608]
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茶歇 数学的法则、证明和魔力
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人们都知道数学法则是怎么一回事，却不知道法则是如何证明出来的。拿毕达哥拉斯定理来说，它的证明方法有很多种，有的证法甚至一个字都没有。在欧洲最大的科学博物馆——法国的科学工业城（Cité des Sciences et de l’Industrie）里有一面立体的展示墙，上面就有毕达哥拉斯定理。上面有3个立体而中空的图形。每个图形分别紧邻着直角三角形的一条边。图形中装有一些有色液体。这些液体可以从一个图形流动到另一个图形中。展示墙转动时，液体就可以完全流到斜边上的图形中，而其他两边的图形中一点也不会剩；反之亦然。欧几里得的《几何原本》19世纪出版的版本，被人们认为是“本世纪最古怪，也是最漂亮的书之一”。这本书1851年曾在英国著名的水晶宫（Crystal Palace）中展出。现在在eBay上卖到几千美元。这本书采用彩线、彩图，对大部分证明中的文字加以浓缩提炼，几乎完全是用图形加以证明的，包括毕达哥拉斯定理的证明［23］。
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两种不同方法中的4个三角形
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哲学家大卫·索克（David Socher）想出了一个聪明的办法，来告诉学生毕达哥拉斯定理的法则和证明之间的不同［24］。他手上拿着1个大的白色正方形和4个有颜色的三角形，可他并不告诉学生自己接下来要做什么。“我只是说接下来要做个小小的演示。我要你们用不同的办法来移动正方形和三角形。这并不需要什么技巧，并不难，也不测试速度。仅仅就是一个很好玩的演示而已。”接着，他要求学生用两种方法把4个三角形（每个三角形的边长都分别为3英寸、4英寸和5英寸）组合到正方形（边长为7英寸）上。学生们很快就能发现，两种方法中余下的空白面积是相等的。索克问这对于三角形有什么用呢？学生们说不上来。他接着问学生对三角形理解多少。这时不止一个学生提到毕达哥拉斯定理，可他们却没有发现眼前的几何图形与毕达哥拉斯定理之间存在的关联。索克接着写下了两个字：“璞玉”。你看，再多解释一两句，法则和证明之间的关系就浮现出来了。
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这样的时刻，即便是在成人看来，也是很难忘，甚至很渴望的。在Quartered Safe Out Here: A Recollection of the War in Burma（《缅甸战争回忆录》）一书中，英国小说家乔治·麦克唐纳·弗雷泽讲述了二战期间向战友杜克演示毕达哥拉斯定理的故事。那个夜里，他们团正沿着通往仰光的公路挖掘掩体，他和杜克一边挖着，一边聊天。聊了香烟，聊了战争，聊了日本人，杜克谈兴正隆，提出让弗雷泽说点有文化的东西，也享受“一分钟不带脏话、有教养的讨论”。弗雷泽于是提出来“证明毕达哥拉斯定理”，杜克很开心，打趣说他觉得弗雷泽证明不了。（那天深夜，由于一系列的意外和误会，杜克被自己人当成了敌人，好几挺机关枪几乎把他打成了筛子，凄惨地倒在了前线的黑暗里。）