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他转向美诺，试着用另一种方式教育他。他问美诺：“奴隶小孩是不是一开始不知道，后来才知道的呢？”“是的。”美诺承认了。“我向奴隶小孩灌输什么了吗？”“没有。”“那么他是自己找到答案的吗？”“是的。”“这些新出现的思想虽然是新的，现在却梦幻般地成为了现实，”苏格拉底继续说，并提出更多的问题。这样的提问会让学到的知识牢靠而不会忘记。无论他身在何方，这些知识都是他宝贵的财产，并且他所掌握的知识是正确的，跟别人的没什么不同。（人们把这样的问题叫作“作业和练习”。）如果我们坚持认为美诺悖论是正确的，那么奴隶小孩要么知道，要么不知道。这样一来，即便他知道了也会遗忘，就像传说中说的那样。“是的。”美诺表示认可。苏格拉底说：“我不会断言传说中的一切都是对的，但是我相信它里面一定包含一些真理。”
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美诺现在也认可学习是可能做到的，于是话题转向了一开始提出的关于美德以及如何传授美德的问题。于是，苏格拉底和美诺开始讨论谁适合来传授美德。他们很快就发现找不出合适的人选。无论是品德良好的公民，还是备受尊敬的城市统治者都不合适。此时一位有钱有势，名叫安尼托的雅典人加入了他们的讨论。安尼托听说苏格拉底认为连品德良好的公民都不能理所当然地成为传授美德的老师之后，颇为生气。他警告苏格拉底不要“说人们的坏话”。实际上，若干年之后控告苏格拉底的人当中就有安尼托。苏格拉底被判处死刑。
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在这场“戏中戏”中，我们能看到很多。你其实也是在一场旅途中。我们看到毕达哥拉斯定理在自己面前产生。我们看到了奴隶小孩学习毕达哥拉斯定理的过程。我们看到苏格拉底在引导小孩，但是小孩可被引导的前提是他自己有主动性。我们看到美诺也处在旅程中，看到小孩从无知到掌握知识。我们看到了求知的过程：遇到困难停滞下来的时候，可以添加新的元素，丰富原有的知识库。那条新的线（对角线）起先是没有的。但是它一旦出现，就变得和其他线一样明显，丰富了知识库，令解决问题的途径变得清晰起来。这是有史以来第一次系统准确地描述亲身体验教育的记录。
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除此之外，柏拉图也告诉我们自身的处境。这出“戏中戏”向我们暗示，我们自己其实与奴隶小孩的情况类似，然而却未有幸得到苏格拉底的指点——没有人向我们提出正确的问题，帮助我们学到正确的新知识。在一定程度上，人类的处境会激发出隐含的问题，令自己产生不舒服的感觉。幸运的话，机会就会像对角线那样出现。但是，要对答案加以描述，往往需要一种之前不为人知的语言。这样一来，就得预先设计好这种更加精细的语言。我们得像小帕斯卡那样学会怎么去添加那条对角线。柏拉图还告诉我们，要不断地提问题。人们一般习惯于把学到的知识固定下来，所以总是存在着真理变成虚幻，现实变成梦幻的危险。这就是苏格拉底公开抨击《斐德罗篇》（Phaedrus）的原因所在。他把《斐德罗篇》几卷书称为已经无法答话的“鲜活语言的遗孤”。唯一的办法就是不断提问，不断对经验提出质疑，并保持好奇心。
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柏拉图还有最后一个法宝。他通过一件事情指出，人们在努力的过程中，常常会遇到两种危险。第一种危险就是因为学术懒惰造成的惯性，即现代版的美诺，他们认为人无法真正学到知识。人所能做的就是对已有的知识体系缝缝补补，哪怕这知识是新的，也不过是一种推断。第二种危险来自政治家及其党羽，即现代的安尼托。他们告诉我们爱国心和对统治者的忠诚重于科学上的发问。这两种人都是在否定人类的文化成就，只是方式不同。对第一种人，需要保持耐心；对第二种人，得小心谨慎，有时甚至要顺从他们。《美诺篇》是留传至今的情节最为复杂的一个短篇文学作品，柏拉图用学习毕达哥拉斯定理的故事告诉人们，通向真理的路途比人们通常所认为的要困难和危险得多。
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历史上最伟大的10个方程 [:1701051608]
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茶歇 数学的法则、证明和魔力
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人们都知道数学法则是怎么一回事，却不知道法则是如何证明出来的。拿毕达哥拉斯定理来说，它的证明方法有很多种，有的证法甚至一个字都没有。在欧洲最大的科学博物馆——法国的科学工业城（Cité des Sciences et de l’Industrie）里有一面立体的展示墙，上面就有毕达哥拉斯定理。上面有3个立体而中空的图形。每个图形分别紧邻着直角三角形的一条边。图形中装有一些有色液体。这些液体可以从一个图形流动到另一个图形中。展示墙转动时，液体就可以完全流到斜边上的图形中，而其他两边的图形中一点也不会剩；反之亦然。欧几里得的《几何原本》19世纪出版的版本，被人们认为是“本世纪最古怪，也是最漂亮的书之一”。这本书1851年曾在英国著名的水晶宫（Crystal Palace）中展出。现在在eBay上卖到几千美元。这本书采用彩线、彩图，对大部分证明中的文字加以浓缩提炼，几乎完全是用图形加以证明的，包括毕达哥拉斯定理的证明［23］。
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两种不同方法中的4个三角形
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哲学家大卫·索克（David Socher）想出了一个聪明的办法，来告诉学生毕达哥拉斯定理的法则和证明之间的不同［24］。他手上拿着1个大的白色正方形和4个有颜色的三角形，可他并不告诉学生自己接下来要做什么。“我只是说接下来要做个小小的演示。我要你们用不同的办法来移动正方形和三角形。这并不需要什么技巧，并不难，也不测试速度。仅仅就是一个很好玩的演示而已。”接着，他要求学生用两种方法把4个三角形（每个三角形的边长都分别为3英寸、4英寸和5英寸）组合到正方形（边长为7英寸）上。学生们很快就能发现，两种方法中余下的空白面积是相等的。索克问这对于三角形有什么用呢？学生们说不上来。他接着问学生对三角形理解多少。这时不止一个学生提到毕达哥拉斯定理，可他们却没有发现眼前的几何图形与毕达哥拉斯定理之间存在的关联。索克接着写下了两个字：“璞玉”。你看，再多解释一两句，法则和证明之间的关系就浮现出来了。
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这样的时刻，即便是在成人看来，也是很难忘，甚至很渴望的。在Quartered Safe Out Here: A Recollection of the War in Burma（《缅甸战争回忆录》）一书中，英国小说家乔治·麦克唐纳·弗雷泽讲述了二战期间向战友杜克演示毕达哥拉斯定理的故事。那个夜里，他们团正沿着通往仰光的公路挖掘掩体，他和杜克一边挖着，一边聊天。聊了香烟，聊了战争，聊了日本人，杜克谈兴正隆，提出让弗雷泽说点有文化的东西，也享受“一分钟不带脏话、有教养的讨论”。弗雷泽于是提出来“证明毕达哥拉斯定理”，杜克很开心，打趣说他觉得弗雷泽证明不了。（那天深夜，由于一系列的意外和误会，杜克被自己人当成了敌人，好几挺机关枪几乎把他打成了筛子，凄惨地倒在了前线的黑暗里。）
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我用刺刀在战壕旁的地面上把我所知道的毕达哥拉斯定理的证法写给他看，这也是毕达哥拉斯本人的证法。期间出了几次错，有个地方忘了加垂线，不过最后还是对了，杜克脸上也露出了满意的表情。我“乘胜追击”，继续证明圆心角的度数等于圆周角的度数的两倍。杜克听得很用心，甚至有点超出我的想象。在四周都是日本人的漆黑夜晚，要如此全神贯注于三角形和圆形之类的东西实在不是一件易事［25］。
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爱因斯坦曾在他的自传中写道：自己小时候根据三角形的相似性证明了毕达哥拉斯定理，欧几里得平面几何由此使他产生“好奇心”，并留下了“难以名状的印象”。“对任何一个第一次产生这种感觉的人来说，”爱因斯坦写道，“这都是一种神奇的经历——人们有能力通过纯粹的思考达到此种程度的确定性和纯粹性。”［26］
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爱因斯坦的经历还表明毕达哥拉斯定理还能使人们产生另一种激动的心情。对那些不仅要知道如何证明，而且想要给出新证法的人来说，这种经历会告诉他们创造力是多么地激动人心。给出新证法的人可不像是看着剧情进展的观众。他们是剧作家，从事着数学家的工作，把数学当成一种创造性的艺术。他们体会着创作的乐趣，发现了数学的真谛就是去作更多的数学。这种人已经发现了“发现的力量”。
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对柏拉图、霍布斯、笛卡儿、黑格尔、叔本华、卢米斯、爱因斯坦、弗雷泽和其他数不清的人来说，毕达哥拉斯定理已经远远不只是一个计算斜边长度的方法。对那些惯于推理的人来说，会有一种超越纯粹结果的东西浮现出来。在经历某个事物时（比如量、数学），在某个时刻会有另一个东西——推理的思路，呈现在人们面前。它强健、不屈又固执，宗教之名赶不跑它，政治意识形态伪装不成它，学术技巧藏不住它。
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1＋1＝2告诉人们加法的概念，而毕达哥拉斯定理用类似的方式告诉人们如何作证明法。这样一来，哲学家们所谓的范畴直观（categorical intuition）就变成了可能：人们所看到的不再仅仅是内容本身，还包括思维框架。它所涉及的“旅程”是很短的。只要稍微瞥见旅途中的各个阶段，便可展现出知识的旅程。它是一个证明，论证了“证明”（Proof）的成立。
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［1］John Aubrey, Brief Lives，编辑Richard Barber（大不列颠：Boydell Press，1982年），第152页。
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［2］这个故事看上去令人难以置信，不像是真的，尤其是在高呼“我发现了！”的时代。不过大多数传记作者还是相信的。人们在当时往往看不到有些事物的重要意义，只有过后才会意识到。最近一位为霍布斯写传记的作家A.P. 马蒂尼奇（《霍布斯传》，第84～85页）对故事的真实性进行了有力的争辩。马蒂尼奇认为：“几何学对于霍布斯哲学的重要影响几乎不可能被夸大。影响霍布斯的并不是一大堆的几何公理、定理和证明，而是把一个事物与另一个事物用一种无可置疑的基础联系起来的方法。影响他的是几何方法，而不是几何内容。”
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［3］尽管他没有成为一个真正的专家，而且也会犯一些空有热情的业余爱好者经常犯下的错误。他曾经去研究一些不可能的问题，比如求出与圆的面积相等的正方形，对一个角进行三等分，以及得到一个体积是原来正方体两倍大小的正方体。霍布斯错误地认为自己成功了。
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［4］Leo Strauss，《霍布斯的政治哲学：基础和起源》（芝加哥：芝加哥大学出版社，1959年），第29页。
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［5］Reid McInvale, “Circumambulation and Euclid’s 47th Proposi-tion”http:///www.io.com/~janebm/summa.html（于2008年4月11日访问）。另参见James Anderson的The Constitutions of Free Masons（1723年）：“伟大的毕达哥拉斯，被证明是欧几里得《几何原本》第1卷命题47的作者。如能对其妥善运用，可将其作为所有宗教建筑、民用建筑和军事建筑的基础”，（里士满，VA: Macoy，1977年），第203～204页。
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［6］O. N. Eugebauer和A. Sachs, “Mathematical Cuneiform Texts”, American Oriental Series，第29卷（纽黑文：美国东方学会，1945年），第38页；Eleanor Robson, “Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322”, Historia Mathematica 28（2001），第167～201页。
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