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［5］Reid McInvale, “Circumambulation and Euclid’s 47th Proposi-tion”http:///www.io.com/~janebm/summa.html（于2008年4月11日访问）。另参见James Anderson的The Constitutions of Free Masons（1723年）：“伟大的毕达哥拉斯，被证明是欧几里得《几何原本》第1卷命题47的作者。如能对其妥善运用，可将其作为所有宗教建筑、民用建筑和军事建筑的基础”，（里士满，VA: Macoy，1977年），第203～204页。
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［6］O. N. Eugebauer和A. Sachs, “Mathematical Cuneiform Texts”, American Oriental Series，第29卷（纽黑文：美国东方学会，1945年），第38页；Eleanor Robson, “Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322”, Historia Mathematica 28（2001），第167～201页。
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［7］包德哈亚那（Baudhayana，印度数学家）就说：“从矩形的对角线得出的面积等于两边分别得出的面积之和。”（David Smith引用，History of Mathematics，第1卷（纽约：丹佛，1958年），第98页。）不过他仅仅陈述了这样一个事实，并未对其加以证明。有一位学者写道：“我们必须要了解，他们感兴趣的只是有实际用途的几何事实。从而表述的形式就是最实际的了。”（G. Thibaut，《苏瓦经》（Sulvasutras）（加尔各答：Papatist Mission Press，1875年），第232页。
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［8］Christopher Cullen, Astronomy and Mathematics of Ancient China: The Zhou Bi Suan Jing（剑桥大学出版社，1996年），第xi页。但正如Cullen所发现的那样，“整个过程更多的是文字而不是计算”，“虽然采用了欧几里得式的图标标记法，但在正文中却没有提到，反致误导”，不知作者所云。“书中基本没有称得上是计算的东西。”（第80页。）太阳的高度是8万里，即4万公里或2.4万英里（1英里＝1.609公里）。之后中国又出现一本叫作《九章算术》（Nine Chapters on the Mathematical Art，约公元250年）的书，对法则进行了比较清晰的处理。《九章》所关注的依旧是实际问题，里面的第一章就是“土地丈量”。后续的章节主要是关于运河、税收等事务。最后一章是“勾股”（Kou ku），“勾”是“小腿”，指的是直角三角形的短边；“股”是“大腿”，指的是直角三角形的长边。“弦”就是连结两点构成的斜边。这一章包含了24个涉及直角三角形性质的问题。“但是证明并不是本书所关心的，”历史学家劳埃德（G. E. R Lloyd）说，“书中问题的数学推理方式更多的是基于类推和（问题、步骤和公式）结构上的共同点。”拿诗歌来说，它最感兴趣的是关联、互补和对仗。这种风格在书中是没有的。
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［9］古代的长度单位。——译者注
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［10］毕达哥拉斯时代的一个世纪之后，很多希腊作者就已非常熟悉斜边定律了。但这些作者都没有把毕达哥拉斯当成斜边定律的发现者。亚里士多德最擅于“论功行赏”，可他也没有提到毕达哥拉斯与斜边定律存在什么关联。证明的思想始于公元前5世纪。这一思想在公元前4世纪柏拉图讨论“说服”（persuasion）与“实证”（demonstration）之间的差异时达到顶峰。同一时期，亚里士多德讨论了证明的本质，欧几里得写出了《几何原本》。《几何原本》是第一本完全以证明形式呈现数学知识的书。早期的著作和之后希腊的正规证明思想之间存在着较大的差异。著作中数学知识的呈现，还是以实际结果作为出发点。但是劳埃德写道：“实际结果是一回事，证明又是另一回事。”“要给出定理或命题的正规证明，起码要保证步骤的准确和有效，然后才可能通过归纳和演绎得出定理或命题的正确性。”（劳埃德，《让智力不再神秘》（Demystifying Mentalities，第73、74页）劳埃德又继续写道，就目前已知，上述思想并非只由希腊由亚里士多德提出，在世界其他地方也出现了。比如有人就声称毕达哥拉斯定理在被毕达哥拉斯发现之前，就已在美索不达米亚、印度和中国被发现了。“从关键字句中我们看不出严格证明步骤和大概证明之间的差别。人们对两者的使用显然是不加区分的，说明作者并不关心结论的证明，只关注祭坛建造等实际问题。”（第75页）的确，生活在毕达哥拉斯（约公元前569—公元前475年）之后5个世纪的作者认为毕达哥拉斯是给出斜边定律证明的第一人。但正如劳埃德指出的，这很可能是因为“后世的希腊注释者过于乐观地把功劳放到了英雄般的希腊哲学创建者身上”。（第80页）这些过于乐观的人中首当其冲的要数阿波洛道鲁斯。关于此人，人们知道得很少。只是知道他曾说毕达哥拉斯以牛祭祀这个“著名定理”的发现。许多作者于是听信阿波洛道鲁斯的说辞，如普卢塔克、阿特纳奥斯、第欧根尼·拉尔修、波菲利和维特鲁威。因为毕达哥拉斯学派对歃血仪式有着严格的限制，所以就有人对以牛祭祀表示了怀疑。于是普卢塔克等人又对故事进行了润色。“其实，”劳埃德推断（第87页），“对之后希腊科学发展最没有争议、最重要的是对知识框架进行系统说明的典范——欧几里得的《几何原本》所起到的作用。自此之后，几何证明被广泛采用。其范围除几何学外，还涉及光学、某些音乐理论、统计学和水力学、理论天文学的某些领域；它不仅可用于自然科学，也适用于生命科学的某些领域。”
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［11］举个例子。Otto Neugebauer是破译了普林顿322中毕达哥拉斯三元数组的第一人。他借用巴比伦人的泥板，认为泥板已经提供了“足够的证据，表明早在毕达哥拉斯1000多年之前，人们就已经知道‘毕达哥拉斯’定理了”。Otto Neugebauer, The Exact Science in Antiquity，普罗维登斯：布朗大学出版社，1993年，第36页。
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［12］Francs M. Cornford, Before and After Socrates（剑桥：剑桥大学出版社，1972年），第72～73页。
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［13］《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly），第1期（1894年1月），第1页。
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［14］卢米斯，The Pythagorean Proposition: Its Proofs Analyzed and Classified。由The Masters and Wardens Association of the 22ndMasonic District of the Most Worshipful Grand Lodge of Free and Accepted Masons of Ohio出版，1927年；The Pythagorean Proposition: Its Demonstrations Analyzed and Classified，安阿伯，密歇根：爱德华兄弟出版公司，1940年。书的结尾是：“最后的话：毕达哥拉斯定理总是对的吗？黎曼和爱因斯坦分别于1854年和1915年对该定理加以推广，使其符合、包含欧几里得以外的几何学，并提出和验证了广义相对论。他们的努力似乎表明，毕达哥拉斯定理中蕴含的真理注定要成为一种基本因素。这种因素使过去、现在和将来的理论协调起来，共同构成宇宙的基本定律。”
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［15］第二版中的几何证明第32种“是E. A. Coolidge小姐给出的，她是一位盲人”；几何证明第68种“是第一个完全采用从给定三角形斜边出发的辅助线和三角形建立的证法。该证法由Ann Condit小姐提出并给出证明。她16岁，是印第安纳州南本德中心中学的学生，1938年10月。这个只有16岁的女孩所做的工作，是连伟大的数学家，不管是印度的、希腊的，还是现代的都不曾作出的”；几何证明第69种“是原创性的。由西费城的中学生Joseph Zelson提出，经由他的叔叔送至本人手中。Joseph能提出该证法说明他的智商很高”。卢米斯还说，这个证明和前面的一个证明“都证明了青少年也可以发挥演绎能力”；几何证明第252～255种“表明提出者具有高智商。还表明，不管是男孩还是女孩，只要通过独立的、逻辑的思考，就能做到这一点”；关于代数证法第93种，卢米斯评论说，该证法是由“19岁的年轻人Stanley Jashemski提出的。他住在俄亥俄州的扬斯敦，智商极高”。
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［16］卢米斯，1927年版，第99页。
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［17］卢米斯，1940年版，第269页。
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［18］本书中译文名为《勾股定理：悠悠4000年的故事》，已由人民邮电出版社出版。
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——编者注
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［19］伊莱·马奥尔，《勾股定理：悠悠4000年的故事》，普林斯顿：普林斯顿大学出版社，2007年，第xiv页。
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［20］伽利略，Galileo on the World Systems, M. A. Finocchiaro译，伯克利：加利福尼亚大学出版社，1997年，第97页。
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［21］G. W. F. Hegel, Hegel’s Philosophy of Nature，第1卷，M. J. Perry编辑、翻译（纽约：人文出版社，1970年），第228页。
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［22］感谢我的同事David Dilworth的发现。
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［23］Oliver Byrne编，The First Six Books of the Elements of Euclid，伦敦：威廉-皮克林出版公司，1847年。
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［24］David Socher, “A Cardboard Pythagorean Teaching Aid”, Teaching Philosophy，28，2005，第155～161页。
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［25］George MacDonald Fraser, Quartered Safe Out Here: A Recollection of the War in Burma，伦敦：哈泼柯林斯出版社，1992年，第150页。
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［26］Albert Einstein: Philosopher-Scientist, Paul Arthur Schilpp编，伦敦：剑桥大学出版社，1970年，见书中自传短文的开篇，第9～11页。
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