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对于余弦部分，我们则用加粗的黑体来表示：
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采用这些函数，欧拉表明其他三角函数也可以类似地用无穷级数来表示。
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欧拉精于计算，他可以把三角函数加和起来，得到以e为底的指数函数。在计算的过程中，欧拉采用了虚数在《导论》写成的几年之后，欧拉用i来表示i虽然不是“实”数，在数轴上也没有位置，但却常被用于实数运算。这样数学家就可以求解原本不可解的方程。如果将i插入到ex的指数项中，则在无穷级数的所有项中都会出现i：
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由于i2等于-1，因此有i3＝-i、i4＝1，i5＝-i，等等。于是上述级数可以变为：
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欧拉发现如果将i的多项式并为一组，就可以得到：
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或者，就像他在《导论》的第8章中所写的那样（用i表示英文译本同此）［12］，为：
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eix＝cos x＋isin x
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上述方程在指数函数和三角函数之间建立了深层次的联系。印度著名数学家拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887—1920年）在上中学时曾发现了这个关系，并激动地把它写了下来。不过，拉马努金在得知自己并不是第一个发现这个关系的人之后，非常沮丧，把计算结果藏到了自己家房子的屋顶上。［13］
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这个方程令人不可思议，不过它的意义还远不止于此。假定x等于π，由于sin π＝0，cos π＝-1，因此eiπ＝-1或者eiπ＋1＝0。
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还有一种方法是用图形的方式证明上述方程正确性。假定用π代替x代入前几段的公式中，则该公式变成：
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数学家可以把上述各项像向量一样加起来。各向量首尾相接，带有虚数i的项表示该向量逆时针转过90度。［14］如果从0出发，第一项（即1）是沿着x轴出发到达点（1, 0）的向量。第二项（iπ）是一个从（1, 0）出发，相对于第一个向量逆时针转过90度，向上延伸π个单位，到达坐标（1, π）的向量。第三项（iπ2/2!）是从（1, π）出发，相对于第二个向量再逆时针旋转90度，方向与第一个向量完全相反，并越过直线x＝0到达点（-（π2/2－1）, π）的向量。第四项是一个方向向下的向量，延伸至x轴的下方，如此往复。由于后一向量总是沿着前一向量逆时针旋转90度的方向，并且分母增长的速度比分子要快，导致向量的模［15］逐渐变小，所以最后就能得到收敛于点（-1, 0）的多角形螺旋（见图）。
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表明无穷级数收敛于-1的多角形螺旋
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这种简单的欧拉公式（根据某些定义，此种形式的欧拉公式并不是方程，因为它不含有变量）包含了5个数学上最基本的概念——0、1、自然对数的底e、虚数i和π，还包含了4个运算符——加、乘、取幂和相等。这些概念和运算符分别只出现了一次。欧拉公式说的是无理数的虚数乘无理数次方加上1恰好等于0。数字πe、2π和eπ都被认为是无理数。但eiπ却占据了数字大厦中的一个特殊位置。在这个位置上，无理数和虚数结合在一起，幽灵般地“相互抵消”，产生出了0。曾有人说，所有的分析都集中在这一个公式当中［16］欧拉的结果与其他一些事实表明：受到笛卡儿嘲笑的虚数在数学中并没有被边缘化，而是位于数学的中心。它们在数学上将发挥越来越重要的作用。伴随着20世纪量子力学的发展，在物理学和工程学等研究周期性现象的领域中，复数也被用于表示波。有了复数就能同时表示相位和波长两个过程，而复指数则可以将直线映射为复平面上的圆。
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