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于是海森堡决定继续下去，他不再尝试去提出描述原子级事件在时空中如何发生的理论。利用在哥廷根学到的对形式结构的鉴赏能力，他要为实验学家实际观察到的现象找到纯数学的描述：电子所发射出的光的频率和振幅。这些描述需要遵守对应原理（大的量子数遵守经典定律）和其他一些约束条件，如能量守恒原理等。不过，可测属性和连续传播函数是不需要的。实际上，在海森堡看来，不连续性是量子世界的一个主要的独特特征。
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这一发现非常重要，就好像是哥伦布发现了太阳系的结构。两者都改变了科学家惯常看待世界的视角。他们常常会把自己天真地以为是客观实在的反映的事物当成是人类观察者和自然之间相互作用的复杂产物。
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这一步也是革命性的，不过通向这一步的道路却并非全由海森堡一人建成。第一，他利用了从玻尔、波恩和其他人那里获得的理论工具，并且抛弃了时空场。抛弃的理由仅仅是为了能使这些理论工具派上用场。第二，海森堡所采用的策略已有一个很好的先例——爱因斯坦在1905年时就已采用这一策略提出了狭义相对论。爱因斯坦抛弃了把传统意义上的“同时”当成是“在统一的时空瞬间发生”的做法，转而采用观察者能够观察到的形式对其重新定义。海森堡希望，通过抛弃原子内部的“位置”和“动量”等传统概念（不能观察到，是推断出的量），用实验者从外部观察到的现象（谱线的频率和振幅）来对其重新定义，从而取得同样重大的突破。最终，所有的尝试却都归于失败。虽然构建理论的尝试已被放弃，但这一激进的做法仍不足以描绘出观察不到的那些事物。
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然而，与大多数革命一样，这一做法也有着长期的影响。这种影响需要数年时间才能变得清晰起来。如果说成为一个“事物”意味着在特定时间占据特定的位置，那么这种做法就意味着“从原子领域消除粒子的概念，即‘物性’”。［6］它实际上是替代了牛顿的自然实体论。在自然实体论中，物体最基本的部分在特定的时间都是客观存在于特定位置上的。而新的实体论，如后来一位科学哲学家所说的，涉及的是“科学工作核心层面上的微妙的主观性”。［7］主观性与如下事实有关——我们对原子世界的描绘并不是客观实体的反映，它在一定程度上是构建图像的人类思维中的函数。这种微妙性与“思维所起的作用目前尚不清楚”这一事实有关。
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当时不清楚的东西有很多。1925年的头几个月，海森堡的思路开始时断时续地铺展开来。他和哥廷根的克喇默斯利用不包含经典变量，只含有频率和振幅的方程合著了一篇论文。后者的贡献是一个重要的线索。克喇默斯指出，只有这些频率和振幅与状态对联系起来的时候，才能得出正确的矩阵。后来，海森堡在滑冰时受了伤，在慕尼黑疗养了几个月的时间。他去了哥本哈根和哥廷根，还去了山上旅行，4月底才回到波恩的研究所，准备教暑期班。之后，海森堡已经准备好用纯数学的形式改写玻尔对电子动量（p）和位置（q）的描述。不过他并没有把计划告诉导师，而是像玻尔所说，“对外保密”。［8］
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后来，海森堡有一次回忆说：“我沿着这些思路所做的工作不但没有受到那次不幸挫折的影响而延迟，而且还向前推进了。”［9］5月，海森堡出现了严重的花粉过敏，他向波恩请了两天假。波恩同意了。于是，海森堡就前往赫尔戈兰。赫尔戈兰是北海上的一座岩石孤岛，不适合草和其他产生过敏原的植物的生长。他离开的前一天晚上，指给他房间的旅馆女店主看到他浮肿的脸时大吃一惊，以为海森堡被人打了。在岛上的时候，一旦工作条件具备，他就开始试着验证自己的想法是否符合能量守恒定律。当结果表明想法与能量守恒定律确实吻合时，海森堡非常兴奋。因为条件的限制，加上身体的疲乏，他犯了一些数学上的错误。可他锲而不舍，夜里照样工作，最后终于在凌晨3点把错误都找了出来，解决了所有问题。
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一开始我很害怕。我有种感觉，就好像是透过原子现象的表面，看到了异常美丽的原子内部。一想到现在必须找出大自然如此慷慨地呈现在我面前的如此之多的数学结构，我就感到几乎眼花缭乱了。激动的心情使我难以入睡。所以在新的一天开始的时候，我来到了岛的南角，渴望登上伸出海面之上的岩石。现在，没费什么力气我就登上来了，等着太阳升起。［10］
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六月底，海森堡回到了哥廷根，而且很快就计划去剑桥讲学。他用几天时间匆忙写出了一篇论文，题目是“运动学和力学关系的量子力学重新解释”（On the Quantum-Mechanical Reinterpretation of Kinematic and Mechanical Relations）。［11］“重新解释”（reinterpretation, umdeutung）一词表明了海森堡的大胆——这是一种研究原子物理学的新方法。在摘要中，海森堡大胆地称论文的目的是“为纯粹建立在‘原则上可观测量’间的关系之上的理论量子力学打下基础”。他继续写道，我们还不能从实验信息出发，“把电子与空间的点联系起来”，“在这种情况下，很显然对目前不可观测量不能抱有任何希望，如电子的位置和周期”。海森堡当时是在黑暗中摸索，实际上，位置和动量可以分别测量到任意准确的程度，只是二者不能同时被准确测定。论文指出了如何编辑与状态间的过渡相关联的振幅和频率表（海森堡把这些表称作“量子理论量”），以及这些表如何能与一种新型的微积分联系起来。海森堡将这种新型的微积分称为“量子力学关系”。
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这篇论文把物理量与一种表联系了起来。其中，表的行和列分别标着“允许的”量子态。玻尔在他的那篇具有开创性意义的论文中假设了氢光谱的量子态。这种做法以前就有（如爱因斯坦的A和B系数是标着两种状态的“表”）。不过，海森堡却把这一思想应用到了一组更加基本的量上，并由此发现了两个表的“乘法”规则，得到了与经典力学中的公式相类似的公式。这一点是全新的，它开创了一条研究量子力学的新途径，跳出了之前玻尔和其他人研究“量子力学”时的局限。
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之后，海森堡意外地遇到了困难。他发明的表和表的乘法法则遵守一种新的代数。这种代数很早之前就被数学家发现了，但大多数物理学家并不熟悉，连海森堡本人都包括在内。最出人意料的是，这一法则并不遵守“乘法交换律”。根据乘法交换律，两数相乘的顺序并不影响乘积，即ab＝ba。海森堡用新微积分将某个量子理论表（不妨称作A）与另一个表（B）相乘时，所得乘积与相乘顺序有关，即AB≠BA。海森堡后来说：“这点令我非常不快。”为了把它从理论中除去，海森堡使出了浑身解数，但没有成功。［12］“我感到这是整个方案中唯一的困难。这一困难如能得以解决，我会高兴得睡不着觉。”面对这一可能会威胁到新发明的困难，海森堡采取了与很多人一样的做法：掩盖真相。对此，他只在一个句子中稍提了一下——“在经典理论中AB总是等于BA，但在量力理论中却并不一定是这样”，在介绍了不会出现这种困难的情形之后，他就转移话题。海森堡说自己的论文带有一种该领域早期论文中常有的“免责声明”。就量子力学来说，不知论文是“令人满意的”还是“过于粗糙的”。他称答案尚需“更深入的数学研究”。［13］
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7月9日，海森堡在完成论文后，将论文的复本给了波恩，请导师帮忙看看是否值得发表，同时问问自己能否研究那个在他看来似乎有些棘手，甚至有些怪异的基本思想。波恩答应了，不过因为讲了一学期的课，加上和另一个助手约尔当一直在做研究，他深感疲惫，好几天没去理会海森堡的论文。
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波恩读海森堡的论文是在他走之后。这篇论文给波恩留下了深刻印象。他将论文交给了《物理期刊》，并在7月15日写了一封信给爱因斯坦，说海森堡的工作看起来“非常不可思议，但确实是正确的，而且意义深远”。［14］不过波恩对海森堡的表和表的数学相乘法则有一丝不安。这法则看上去是那么地熟悉。一周的寝食难安过后，波恩突然想到上学时在数学课上曾见过这种特殊的结构。他的这位无畏的年轻助手在不知情的情况下居然独立地提出了这一结构。这些表被数学家们称作矩阵，表的行和列中排列着数字（或变量），而海森堡的表中元素数字有无限多个。实际上，海森堡提出的有趣的量子力学关系是数学家发现矩阵“乘法”的最自然的方式。
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波恩高兴坏了。矩阵数学为他提供了一种研究海森堡的工作并使之系统化的框架。他知道矩阵是不能对易的——矩阵的乘积与矩阵相乘的顺序有关。这样一来，海森堡的难题也就得到了解释。例如，为什么动量矩阵p和位置矩阵q不能对易，矩阵pq与qp是不同的（习惯上，物理学家常常用黑斜体符号表示矩阵）。不过这还不是全部。这对变量（称为正则共轭变量）虽然不能对易，但可用一种特殊的方法使其交换位置。pq和qp之差似乎是与普朗克常数成比例的特定矩阵：pq－qp＝Ih／2πi，其中I是单位矩阵，即对角线上的元素都是“1”，对角线以外的其他元素都是“0”。波恩后来写道：“我看到这个结果时非常激动，就像一个水手经过长久的航行，远远地看到了期待已久的陆地时的心情。可惜海森堡当时没在，真是遗憾。”［15］
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几天后的7月19日，波恩在火车上遇见了泡利。波恩激动地向泡利解释如何能将海森堡的论文翻译成矩阵语言，并问这位自己以前的助手是否想合作研究这一课题。可泡利却没放在心上，反而讽刺波恩要用“无用的数学”和“繁琐复杂的形式”“糟蹋海森堡的物理思想”。（历史学家认为这个评论很幽默，因为在这里海森堡的思想是形式化的，甚至比传统的矩阵分析还繁琐。）第二天，也就是7月20日，波恩拜访了约尔当。约尔当具有深厚的矩阵数学功底。不出几天时间，两人就弄清楚了如何从海森堡的工作推导出pq－qp＝Ih／2πi这一关系。这一次，波恩又是惊奇不已：“我永远忘不了海森堡的量子状态思想被成功地浓缩到神秘的pq－qp＝Ih／2πi方程中时，自己的紧张心情。这个方程是新力学的核心，之后我们发现它隐含着不确定关系。”［16］
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9月底，他们寄出去一篇论文，题目是“论量子力学”（On Quantum Mechanics）。论文中包含了海森堡所期望的“深入的数学研究”，这也是首次用公式表示矩阵力学。论文所采用的数学是人们所不熟悉的，许多物理学家必须在研读过矩阵之后才能理解论文的内容。数学方法也比较笨拙，不过应付有限的问题，从头一直算到尾还是没有问题的。两位作者把论文的复本寄给了海森堡，此时他已经离开剑桥，正在哥本哈根。他把论文拿给玻尔看，说：“瞧，波恩给我寄来一篇论文，可我却一点也看不懂。全是矩阵，都不知道是干什么用的。”［17］不过，海森堡在复习了矩阵知识后，他也分享了波恩和约尔当的激动心情。7月18日，海森堡写了一封信给泡利，信中说波恩的智慧思想pq－qp＝Ih／2πi是新力学的基础。海森堡、波恩和约尔当三人于是开始了狂热的通信。海森堡也终止了在哥本哈根的逗留，返回哥廷根，以便三人能够完成另一篇论文的工作——在波恩早先计划好的10月美国之行前，对波恩-约尔当论文的结果加以推广。［18］
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三人合作的结果就是由波恩、海森堡和约尔当合写的题为“论量子力学Ⅱ”（On Quantum Mechanics Ⅱ）的论文。物理史学家把这篇论文称作“三人论文”（the three-man paper）。论文的核心是所谓的“量子力学基本关系”，也就是那个奇怪的方程pq－qp＝Ih／2πi。这篇论文是物理学历史上的一个里程碑，它第一次描述了量子领域的图景。几乎同时，泡利也发表了一篇论文。在论文中，他成功地将矩阵力学应用到了氢原子的例子上（克服了相当大的困难）。
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然而，除矩阵力学的发明人外，几乎没什么人能够认识到矩阵力学的重要意义。这其中的原因在于，人们对矩阵力学价值的认同遭遇了几个障碍。障碍之一就是矩阵力学本身的复杂性：矩阵力学本身并没有那么难，可是海森堡在应用它的时候却看似异常复杂。大多数物理学家在掌握的过程中只能不加怀疑地接受。乔治·乌伦贝克（George Uhlenbeck）的反应就很典型。他当时是莱顿大学的一名学生。乌伦贝克后来说：“所有一切都变成了这些必须要解出来的难计其数的方程，所以没人知道到底如何去做。”［19］其他一些人则因下述事实望而却步，即矩阵力学故意不给出原子力学的图景，它的基本项（矩阵）严格来说是没有意义的，只是形式上的象征物。［20］还有一些人对矩阵力学不能解释微观世界到宏观世界的过渡——没有空间和时间且无法看到的世界与人类生活在的、想象力所熟悉的时空背景之间的过渡，深感苦恼。历史学家马拉·贝勒（Mara Beller）曾写道：许多科学家于是采取了“观望”态度，甚至连波恩、海森堡和约尔当等人都把它当成是朝着正确理论迈出的并不完美的第一步。［21］
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然而，三人的论文在1926年2月问世后不久，作者们就邂逅了一位讨厌的同伴。
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矩阵力学与波动力学
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薛定谔有关波动力学的第一篇和第二篇论文分别于1926年3月和4月发表于《物理学年鉴》。波动力学与矩阵力学的研究对象相同，不过物理学家发现前者更易懂。波动力学中不存在矩阵力学中的那些障碍。第一，波动力学所涉及的数学是经典物理学家基本训练内容的一部分。从高中时代起，他们就一直在使用、求解波动方程。第二，波动方程是直观的。物理学家能看到水、声音、光波。这些波的属性（频率、振幅和波长）沿着波光滑、连续地传播。物理学家自己通过训练，可以看到波的其他性质，如波节和干涉等。不过这些都是Ψ函数中的小问题。波函数存在于多维“构形空间”之中——对系统中的所有粒子而言，波函数是三维的。即便如此，这些粒子看上去似乎也是直观的，就像某个物体在空间中运动或者被局限在原子内部像驻波一样保持“静止”。第三，波动力学提供了一种从微观世界到宏观世界的过渡的自然描述方法。就像薛定谔在当年发表的第三篇论文指出的：好比粒子一样，并且沿着经典路径运动的波组或者波包。这些经典路径是与Ψ函数的相前垂直的光线。［22］
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大多数物理学家并未对波动力学感到吃惊。然而，普朗克对此确实惊奇不已，而爱因斯坦更是狂喜。美国物理学家卡尔·达柔（Karl Darrow）曾报道说，波动力学“捕捉到了物理学的世界”，因为它预示着“长久以来令人们备感困惑、无法抑制的那种重返经典物理学的期望”（人们更加习惯的连续传播函数）将得以实现。［23］大量论文开始采用薛定谔的方法来解决原子领域的问题。不过，哥廷根物理学家的拥护者却有不同的反应：海森堡说波动力学“看起来太好了，都不可能是真的”；狄拉克的反应更是充满“敌意”；泡利则把波动力学说成是“疯狂的”。［24］然而，这些人很快就拜倒在波动力学的石榴裙之下。泡利用矩阵力学，辛辛苦苦地算出氢光谱理论后不久就发现，用波动力学去算氢光谱理论更加容易。波恩在给薛定谔的信中写道，他在读了矩阵力学的第一篇论文之后，非常激动，甚至都想“背弃连续物理学，背弃经典物理学脆弱、清晰的概念基础”。［25］不过他的热情很快就降温了。
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起初，冲突集中在两种方法的科学价值的争论上：哪一种方法的效果更好？第一个检测对象就是氢原子。这个问题泡利已经分别用两种方法解决了。氢原子就好比是原子物理学家的果蝇或者实验鼠。所有模型都需要解决的第一个问题就是它：因为氢原子已经用旧量子论成功分析，并且结论与实验结果非常吻合，因此这也意味着可对公式加以比较。另一个检测是要解释量子世界与经典世界之间的过渡，也就是如何从原子世界过渡到人们所熟悉的宏观世界。薛定谔已经表明波动力学可以给出答案，但矩阵力学目前对此尚无能为力。不过，另一个重要问题是如何处理原子世界中的碰撞问题，这需要说明系统随时间的变化情况。
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“究竟哪种方法具有更重要的科学价值”的问题很快就有了答案。1926年5月，在他的第四篇论文中，薛定谔证明了两种方法在数学上是相同的。［26］泡利也得到了相同的结论。虽然尚不清楚如何处理所有的检测，但是两种方式在数学上是等价的这一事实已经表明，两者在数学上的重要性是旗鼓相当的。不过，从科学上说，波动力学对波谱连续部分的分析是必需的，因此它的用途要比矩阵力学广。
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海森堡的自传作家戴维·卡西迪（David Cassidy）指出，尽管如此，这一结论却使冲突再起，令各方也开始严肃对待。随着数学上的等价性这一问题的解决，支持者们现在可以针对理论的物理解释进行自由辩论。两方针锋相对，不过薛定谔对波动力学的解释至少还是给人以希望的。它是这样描述的：随着时间和空间的展开，原子世界乃是自连续过程编织交错而来；这些过程又恰是事件看似不连续的原因。相反，矩阵力学所描述的原子世界中没有连续过程和偶然联系，与时间和空间也没有关联，并认为原子世界是一个人类无论如何也想象不出的世界。与科学价值上的冲突相比，该冲突容易确定，不过也更倚赖于人的情绪。它反映出的是对手对物理学的认识，对世界的认识，以及对人类和世界之间的最根本关系的认识。
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不过，正像贝勒所指出的：“在有关解释的争论的起始阶段，没人有一个能够明确说清楚的位置，更不用说了解‘真相’了。”［27］现在，这种再起的冲突迫使支持者们就各自理论的物理解释进行辩论。薛定谔也只能辩论道：在最基本的层面上，世界是由连续性组成的；要描述它，并不需要海森堡那套蹩脚的正规方法。薛定谔还必须要解释波包如何能结合在一起，详细阐述Ψ函数的意义，说明量子现象的非连续性为何是源于连续的波动过程的。最终，薛定谔只能承认波存在于多维构形空间中。海森堡和他的支持者只能辩说整个世界全是非连续的，用除此之外的其他方式来呈现都会误导他人。他们还必须给出一种把矩阵力学的正规符号项与人们所熟悉的性质联系起来的方法，说明为何在到了波动力学可直观理解的程度后，该方法就是错误的。对双方间的这种不一致，各自的支持者们已经习惯了。贝勒表明了各方是如何“做手脚”，把对方理论的内容加到自己的当中，并使其发挥作用的。但是，这种新的、强烈的冲突却为不确定性原理和哥本哈根诠释的提出铺平了道路。［28］
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