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在我继续阅读、思考、与其他人讨论后，慢慢地，我开始意识到：数学家和政治家、牧师们一样，也是人，都容易犯嫉妒、偏见、野心、骄傲、手足相残、急于求成等毛病。显然，数学界里发生了很多有意思的事。
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随着研究的进展，我发觉资料并不缺乏，反而是太多，这似乎是个麻烦。我不得不从这些超出我需要的争端中做些选择。我选择16世纪中叶作为切入点，两个伟大的数学家在当时发生的一场争端给我留下了深刻的印象。
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他们的故事牵涉了一本书：《大衍术或代数学的规则》（Ars Magna or The Rules of Algebra）。这本书被称为是那个时代最伟大的科学著作之一。确实，人们认为它为文艺复兴时期的新科学打下了跃进的基础。这本书包含了关于三次方程和四次方程的解法。本来一切风平浪静，如果不是它的作者吉罗拉莫·卡尔达诺（Girolamo Cardano）受到另一个意大利人塔尔塔利亚（Tartaglia）的质疑的话。后者宣称，不仅其中的一个方程的基本解法应归功于他，而且作为一个基督徒和绅士的卡尔达诺还允诺过他，自己的书将在他的书之后出版。这个事件非常精彩，理所当然的，它成为了我新的写作旅程的起点。
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在我研究数学争端的早期工作中，我意识到论争的主要原因是为了争取谁先发表作品的荣誉。很显然，在这个时候，数学家们不是为了金钱才这样做。但是，如果他们取得了实在的进展，他们都希望得到荣誉。今天是这样，17世纪也不会例外。牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）事件（详见第3章）就是这样一个争先的战斗。牛顿先发展了微积分，但没有公之于众。莱布尼兹先发表了它，而且他的方法更好用，也确实是先投入运用的。这项荣誉应该归于谁？他们的争论很激烈。很显然，从个人观念来看，其中一人（在当时非常秘密地使用这些方法）是先提出该项成果的人。但在后来对这个事件的处理中，他们各自的国家却诉说着一个不同的故事。
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我继续着我的探索和研究，不断地发现各种各样的争端。有一些起源于纯粹的个人恩怨，一个典型的例子是瑞士的伯努利（Bernoulli）兄弟，他们是世界最杰出的数学家中的两位（详见第4章）。事件开始时非常平静。实际上，哥哥还是弟弟的老师。但是，他们之间为了谁的数学地位更高发生了激烈的论争，最后爆发成一场彼此之间的公开的数学挑战。当其中一人的儿子成长到可能威胁到他的地位时，这个孩子也受到了同等对待。但看起来，这种竞争也促使这些数学家改进他们的方法，使他们做得更好。
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一场争端也可能源于两个人之间迥异的观点。西尔维斯特（J. J. Sylvester）和托马斯·亨利·赫胥黎（Thomas Henry Huxley）之间的争端就是一例。前者是19世纪英国受人尊敬的数学家，后者是一位同样杰出的英国科学家。赫胥黎在动物学、地质学和人类学领域都有重要建树，但他似乎在数学方面有缺陷。由此，他争辩道：“数学对观察、实验、归纳和因果律一无所知。”简而言之，“它对实现科学的目的无用。”（详见第5章）
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数学家们愤怒了，他们认为必须应对赫胥黎的挑战。他们推举西尔维斯特为他们的代言人。西尔维斯特和赫胥黎之间的论战紧紧围绕着他们各自迥异的观点，气氛令人窒息。他们的争论和陈述将影响英国和美国两个国家的自然科学和数学教学。
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到现在为止，所有的这些争端都发生在受人尊敬、地位很高的人之间。在格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）的事例中，我们却看到一个完全不同的论战。该论战中有一个明显的受压迫者（详见第6章），而这个受压迫者却恰好是数学史上最有创意的数学家之一。这是他的荣耀，也是他的困境之源。康托尔有幸与三位最杰出的德国数学家共事研究。然而，他也是不幸的，因为三人中有一位是利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker），他是一位著名的数学教授，但非常保守。当康托尔开始在几个大胆的方向寻求突破时，他的麻烦来了。
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实际上，康托尔已经在数学世界开创了一个广阔的新领域。他创造了集合论，这是一个使传统算术转变方向的新观念。无穷一直被认为是个捉摸不定、难以理解的谜，而他不仅提出了一个真实、有形的无穷概念，甚至还找到了一个解决它的数学方法。但是，他的行动越大胆，对克罗内克这个曾经友好地支持过他的老师来说，这些行动看起来就越发像“数学的疯狂”（mathematical insanity(3)）。康托尔竭力想创建大胆的新数学理论并取得荣誉，他由此而面临的巨大困境使他的悲惨遭遇犹如一出肥皂剧。
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在提出集合论的早期，康托尔非常偶然地用到了一些方法，凭此确定了那些促成集合论诞生的因素，并让大家公开批评它。而克罗内克决不是唯一批评康托尔工作的人。
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为了试着帮助完善集合论，年轻的德国数学家恩斯特·弗里德里希·策梅洛（Ernst Friedrich Zermelo）提出了一条重要的论据。照一些数学家的说法，这挽救了形势。被公称为选择公理的这条论据，也引发了一场争议的风暴，以至于一位数学史家称它为“声名卓著的公理”(4)。法国人埃米雷·波莱尔（Emile Borel）是反对者中言辞最激烈的一位。策梅洛和波莱尔以及他们的追随者之间的来回争论，勾画出了集合论不断发展的历程中一些更有趣的方面（详见第7章）。
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尽管如此，在一段时间内，似乎所有的问题看起来都能运用集合论得到解释，集合论也似乎将成为所有数学的基石。然而，在1901年，伯特兰·罗素，这位英国著名的由哲学家摇身而来的数学家，提出了一个简单的问题，它居然动摇了集合论，动摇了它所支撑的更广阔的数学领域的基础。由于没有答案，所以它是一个悖论，或者说是个矛盾。
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这个悖论以及其他类似的悖论产生了广泛的影响，那些对数学的基础感兴趣的人们受到的影响尤其大。因为，看起来他们所钟爱的学科的整体结构在动摇，或者说，这些结构也许建立在不稳固的基础上。很显然，“数学是一门严密、富有逻辑性和确定性的学科”这种传统观念已经被严重侵蚀了。从20世纪之交开始，相当大一部分数学家积极地沿着这条线索开展研究，但他们分化成几个相互敌对的群体。这些人逐渐形成了三个主要群体或学派。
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我们讨论的第一个学派是逻辑主义学派。他们的代表者是伯特兰·罗素（详见第8章）。罗素坚信纯粹数学可以建立在少数基本的、合乎逻辑的观念基础上，它所有的命题都可以从一小部分基本的、合乎逻辑的原理推导出来。他也希望能够解决这个悖论。对于这个难题，他试图引入一些新的方法。但罗素已经把他大部分的成果建立在康托尔的集合论基础上。在1891年克罗内克死后，世界级的法国数学家亨利·庞加莱（Henry Poincare）成为康托尔数学理论的主要反对者。结果是：庞加莱将他的枪口对准了罗素的逻辑主义。虽然两人彼此非常尊重，但他们攻击起对方来毫不犹豫。
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另外两个学派几乎同时兴起，它们是直觉主义和形式主义。它们的领导人分别是L·E·J·布劳威尔（L. E. J. Brouwer）和戴维·希尔伯特（David Hilbert）。在这场论战中，所有的分歧，包括参与者的国籍，都被派上了用场。论战扩大，论战双方都要拉进支持者，爱因斯坦选择保持中立，并形容这是一场青蛙和老鼠的战争（The War of the Frogs and the Mice）（详见第9章）。
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在最后一章，我们将回顾一个很多年来令数学家们苦恼并着迷的问题：数学创新是发明还是发现？虽然它本身就很有趣，但它也引发了一场论战。这场论战是关于如何进行数学教学的，直到现在仍很盛行。
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那么，这是一本关于数学史上著名争端的书。我们将会看到，数学不是我们长期以来所想象的那样客观和确定，数学家也和其他人一样，容易受挫，情绪容易波动。
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公众所见与此书清晰所示之间的区别，也许可以用鲁本·赫希（Reuben Hersh）提出的一个图景来解释。他是新墨西哥大学的一位数学教授。他形容数学很像一个不错的餐馆。在它的前半部分是用餐区，顾客们在那里享用干净的、精心烹制的数学菜肴；但在它的后半部分，是令人倒胃口的厨房。数学家们实际上是在杂乱无章的气氛中烹制他们的“新知识”菜肴的。这种气氛里有火爆的脾气，有紊乱不安，有混乱无序，有失败，也有成功(5)。我们将把注意力投向这个餐馆的后半部分：厨房区。
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(1) 伯特兰·罗素，《神秘主义和逻辑》（Mysticism and Logic）（纽约：W·W·诺顿，1929年）（文章写于1902年），第57页。
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(2) 克莱因，1953年，第105页。
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(3) 一位重要的早期自然科学史家埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）用了“数学的疯狂”这个说法。这说法是否太过分？我们将在第6章得到答案。
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(4) 数学中的公理指一个显而易见的观念和想法，我们可以不用证明就可以接受它，我们甚至可以在它的基础上建立一套符合逻辑的系统。
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(5) 鲁本·赫希，《到底什么是数学》，纽约：牛津大学出版社，1997年，第35—37页。
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