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到现在为止，所有的这些争端都发生在受人尊敬、地位很高的人之间。在格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）的事例中，我们却看到一个完全不同的论战。该论战中有一个明显的受压迫者（详见第6章），而这个受压迫者却恰好是数学史上最有创意的数学家之一。这是他的荣耀，也是他的困境之源。康托尔有幸与三位最杰出的德国数学家共事研究。然而，他也是不幸的，因为三人中有一位是利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker），他是一位著名的数学教授，但非常保守。当康托尔开始在几个大胆的方向寻求突破时，他的麻烦来了。
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实际上，康托尔已经在数学世界开创了一个广阔的新领域。他创造了集合论，这是一个使传统算术转变方向的新观念。无穷一直被认为是个捉摸不定、难以理解的谜，而他不仅提出了一个真实、有形的无穷概念，甚至还找到了一个解决它的数学方法。但是，他的行动越大胆，对克罗内克这个曾经友好地支持过他的老师来说，这些行动看起来就越发像“数学的疯狂”（mathematical insanity(3)）。康托尔竭力想创建大胆的新数学理论并取得荣誉，他由此而面临的巨大困境使他的悲惨遭遇犹如一出肥皂剧。
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在提出集合论的早期，康托尔非常偶然地用到了一些方法，凭此确定了那些促成集合论诞生的因素，并让大家公开批评它。而克罗内克决不是唯一批评康托尔工作的人。
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为了试着帮助完善集合论，年轻的德国数学家恩斯特·弗里德里希·策梅洛（Ernst Friedrich Zermelo）提出了一条重要的论据。照一些数学家的说法，这挽救了形势。被公称为选择公理的这条论据，也引发了一场争议的风暴，以至于一位数学史家称它为“声名卓著的公理”(4)。法国人埃米雷·波莱尔（Emile Borel）是反对者中言辞最激烈的一位。策梅洛和波莱尔以及他们的追随者之间的来回争论，勾画出了集合论不断发展的历程中一些更有趣的方面（详见第7章）。
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尽管如此，在一段时间内，似乎所有的问题看起来都能运用集合论得到解释，集合论也似乎将成为所有数学的基石。然而，在1901年，伯特兰·罗素，这位英国著名的由哲学家摇身而来的数学家，提出了一个简单的问题，它居然动摇了集合论，动摇了它所支撑的更广阔的数学领域的基础。由于没有答案，所以它是一个悖论，或者说是个矛盾。
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这个悖论以及其他类似的悖论产生了广泛的影响，那些对数学的基础感兴趣的人们受到的影响尤其大。因为，看起来他们所钟爱的学科的整体结构在动摇，或者说，这些结构也许建立在不稳固的基础上。很显然，“数学是一门严密、富有逻辑性和确定性的学科”这种传统观念已经被严重侵蚀了。从20世纪之交开始，相当大一部分数学家积极地沿着这条线索开展研究，但他们分化成几个相互敌对的群体。这些人逐渐形成了三个主要群体或学派。
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我们讨论的第一个学派是逻辑主义学派。他们的代表者是伯特兰·罗素（详见第8章）。罗素坚信纯粹数学可以建立在少数基本的、合乎逻辑的观念基础上，它所有的命题都可以从一小部分基本的、合乎逻辑的原理推导出来。他也希望能够解决这个悖论。对于这个难题，他试图引入一些新的方法。但罗素已经把他大部分的成果建立在康托尔的集合论基础上。在1891年克罗内克死后，世界级的法国数学家亨利·庞加莱（Henry Poincare）成为康托尔数学理论的主要反对者。结果是：庞加莱将他的枪口对准了罗素的逻辑主义。虽然两人彼此非常尊重，但他们攻击起对方来毫不犹豫。
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另外两个学派几乎同时兴起，它们是直觉主义和形式主义。它们的领导人分别是L·E·J·布劳威尔（L. E. J. Brouwer）和戴维·希尔伯特（David Hilbert）。在这场论战中，所有的分歧，包括参与者的国籍，都被派上了用场。论战扩大，论战双方都要拉进支持者，爱因斯坦选择保持中立，并形容这是一场青蛙和老鼠的战争（The War of the Frogs and the Mice）（详见第9章）。
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在最后一章，我们将回顾一个很多年来令数学家们苦恼并着迷的问题：数学创新是发明还是发现？虽然它本身就很有趣，但它也引发了一场论战。这场论战是关于如何进行数学教学的，直到现在仍很盛行。
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那么，这是一本关于数学史上著名争端的书。我们将会看到，数学不是我们长期以来所想象的那样客观和确定，数学家也和其他人一样，容易受挫，情绪容易波动。
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公众所见与此书清晰所示之间的区别，也许可以用鲁本·赫希（Reuben Hersh）提出的一个图景来解释。他是新墨西哥大学的一位数学教授。他形容数学很像一个不错的餐馆。在它的前半部分是用餐区，顾客们在那里享用干净的、精心烹制的数学菜肴；但在它的后半部分，是令人倒胃口的厨房。数学家们实际上是在杂乱无章的气氛中烹制他们的“新知识”菜肴的。这种气氛里有火爆的脾气，有紊乱不安，有混乱无序，有失败，也有成功(5)。我们将把注意力投向这个餐馆的后半部分：厨房区。
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(1) 伯特兰·罗素，《神秘主义和逻辑》（Mysticism and Logic）（纽约：W·W·诺顿，1929年）（文章写于1902年），第57页。
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(2) 克莱因，1953年，第105页。
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(3) 一位重要的早期自然科学史家埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）用了“数学的疯狂”这个说法。这说法是否太过分？我们将在第6章得到答案。
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(4) 数学中的公理指一个显而易见的观念和想法，我们可以不用证明就可以接受它，我们甚至可以在它的基础上建立一套符合逻辑的系统。
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(5) 鲁本·赫希，《到底什么是数学》，纽约：牛津大学出版社，1997年，第35—37页。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 1 塔尔塔利亚vs卡尔达诺 求解三次方程
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1545年，意大利物理学家和数学家吉罗拉莫·卡尔达诺，以一本代数学方面的书在数学界掀起了一场轩然大波。这本书在今天被称为《大衍术或代数学的规则》。直到现在，它仍然被众多学者认为是文艺复兴时期的科学杰作之一。
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一本代数书，是什么东西如此重要呢？
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《大衍术》（Arts Magna）以一些介绍性的材料开头，这些材料包括标准的线性和二次方程的解法。但是它很快就跃进到未知的领域，首次展示了求解三次和四次代数方程的完整过程。
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这本书的确有着惊人的成就，在16世纪余下的大部分时间里，它将为推动欧洲数学的发展扮演重要角色。直到像弗兰索瓦·韦达（Francois Viete，1540—1603）和勒内·笛卡儿（Rene Descartes，1596—1650）这样水平的数学家出现后，这本书的贡献才被取代。
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但这本书的影响不止在数学领域，因为文艺复兴也是科学世界的一个形成期，卡尔达诺的书在这方面同样起了重要作用。正如杰出的数学家和学者莫里斯·克莱因所说，“很多人把现代科学的出现主要归功于实验方法的引进，并相信数学只是作为一个方便的工具偶尔起点作用。真实的情况……恰恰相反，文艺复兴时期的科学家是作为数学家进入自然科学研究领域的……实验提供的帮助很小，甚至没有。科学家在当时指望从这些原理推导出新的定律。”(1)
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激活了长期潜伏的数学领域，卡尔达诺也为科学的发展提供了动力。比如，数学史家罗纳德·卡林格（Ronald Calinger）就视卡尔达诺为文艺复兴时期新科学的奠基人之一。于是，人们把《大衍术》和维萨里（Vesalius）的《人体构造》（On the Structure of the Human Body）及哥白尼（Copernicus）的《天体运行论》（On the Revolutions of the Heavenly Spheres）相提并论，后两者几乎和《大衍术》同时出现。
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