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在最后一章，我们将回顾一个很多年来令数学家们苦恼并着迷的问题：数学创新是发明还是发现？虽然它本身就很有趣，但它也引发了一场论战。这场论战是关于如何进行数学教学的，直到现在仍很盛行。
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那么，这是一本关于数学史上著名争端的书。我们将会看到，数学不是我们长期以来所想象的那样客观和确定，数学家也和其他人一样，容易受挫，情绪容易波动。
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公众所见与此书清晰所示之间的区别，也许可以用鲁本·赫希（Reuben Hersh）提出的一个图景来解释。他是新墨西哥大学的一位数学教授。他形容数学很像一个不错的餐馆。在它的前半部分是用餐区，顾客们在那里享用干净的、精心烹制的数学菜肴；但在它的后半部分，是令人倒胃口的厨房。数学家们实际上是在杂乱无章的气氛中烹制他们的“新知识”菜肴的。这种气氛里有火爆的脾气，有紊乱不安，有混乱无序，有失败，也有成功(5)。我们将把注意力投向这个餐馆的后半部分：厨房区。
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(1) 伯特兰·罗素，《神秘主义和逻辑》（Mysticism and Logic）（纽约：W·W·诺顿，1929年）（文章写于1902年），第57页。
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(2) 克莱因，1953年，第105页。
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(3) 一位重要的早期自然科学史家埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）用了“数学的疯狂”这个说法。这说法是否太过分？我们将在第6章得到答案。
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(4) 数学中的公理指一个显而易见的观念和想法，我们可以不用证明就可以接受它，我们甚至可以在它的基础上建立一套符合逻辑的系统。
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(5) 鲁本·赫希，《到底什么是数学》，纽约：牛津大学出版社，1997年，第35—37页。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 1 塔尔塔利亚vs卡尔达诺 求解三次方程
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1545年，意大利物理学家和数学家吉罗拉莫·卡尔达诺，以一本代数学方面的书在数学界掀起了一场轩然大波。这本书在今天被称为《大衍术或代数学的规则》。直到现在，它仍然被众多学者认为是文艺复兴时期的科学杰作之一。
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一本代数书，是什么东西如此重要呢？
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《大衍术》（Arts Magna）以一些介绍性的材料开头，这些材料包括标准的线性和二次方程的解法。但是它很快就跃进到未知的领域，首次展示了求解三次和四次代数方程的完整过程。
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这本书的确有着惊人的成就，在16世纪余下的大部分时间里，它将为推动欧洲数学的发展扮演重要角色。直到像弗兰索瓦·韦达（Francois Viete，1540—1603）和勒内·笛卡儿（Rene Descartes，1596—1650）这样水平的数学家出现后，这本书的贡献才被取代。
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但这本书的影响不止在数学领域，因为文艺复兴也是科学世界的一个形成期，卡尔达诺的书在这方面同样起了重要作用。正如杰出的数学家和学者莫里斯·克莱因所说，“很多人把现代科学的出现主要归功于实验方法的引进，并相信数学只是作为一个方便的工具偶尔起点作用。真实的情况……恰恰相反，文艺复兴时期的科学家是作为数学家进入自然科学研究领域的……实验提供的帮助很小，甚至没有。科学家在当时指望从这些原理推导出新的定律。”(1)
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激活了长期潜伏的数学领域，卡尔达诺也为科学的发展提供了动力。比如，数学史家罗纳德·卡林格（Ronald Calinger）就视卡尔达诺为文艺复兴时期新科学的奠基人之一。于是，人们把《大衍术》和维萨里（Vesalius）的《人体构造》（On the Structure of the Human Body）及哥白尼（Copernicus）的《天体运行论》（On the Revolutions of the Heavenly Spheres）相提并论，后两者几乎和《大衍术》同时出现。
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然而，维萨里是比利时人，哥白尼是波兰人。很显然，看到他们中的一位对数学的发展作出如此非凡的贡献，意大利的数学家们充满了自豪。
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确实，他们是这样表现的，但出现了一个大大的例外。《大衍术》刚刚出版，一位意大利数学家塔尔塔利亚（他通常以这个单名为人所知）开始攻击卡尔达诺。虽然卡尔达诺在书中和好几个场合清楚地声明过，书中一个基本的三次方程解法应归功于塔尔塔利亚。但塔尔塔利亚说，这不是问题所在。在他看来，卡尔达诺背信弃义。义愤填膺的塔尔塔利亚坚持说，当他向卡尔达诺展示他的解法时，卡尔达诺——作为一个基督徒和绅士——信誓旦旦地承诺会在塔尔塔利亚的书之后出版自己的书。
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要理解塔尔塔利亚的抗议和因之而起的争端的奇怪后果，我们应该回到16世纪初看一看。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 重 生
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实际开始于14世纪的欧洲文艺复兴，是欧洲智慧在沉睡了一千年后的苏醒和重生。艺术家和学者们，特别是在意大利，不断地发现着过去的富矿，并发扬光大之。科学家、工程师和数学家们也开始苏醒了，虽然慢了点，但毫不逊色。
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临近15世纪末时，代数学里出现了数学史上第一个激动人心的时刻。正如文艺复兴的其他方面一样，这些成果在很大程度上是先前工作的再发现。这些辉煌的成就都是古代希腊、阿拉伯和印度的数学家们创造的。他们在很多个世纪以前就找到了线性方程和二次方程（形如 ax＋b＝c和ax2＋bx＋c＝d的方程）的解法。
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