1701055038
梅森和其他杰出的数学家一直保持着通信联系，为整个欧洲的数学交流提供了极大的便利。他常被人称为是“活动的科学期刊”。正是因为他的努力，伽利略的成果才得以在意大利之外的地方广为人知。
1701055039
1701055040
1622年，梅森和笛卡儿建立了密切联系。梅森开始传出话来说，有一个前途远大的年轻哲学家兼数学家正在成长中。到1626年，多亏与梅森的交往，笛卡儿的名望充分地建立起来了，虽然他还没有发表过一个单词。
1701055041
1701055042
1701055043
1701055044
1701055045
数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054464]
1701055046
数学恩仇录：数学家的十大论战 《方法论》
1701055047
1701055048
笛卡儿的《方法论》（1637年）实际上是他不同阶段研究成果的大杂烩，尽管它包含了一些新的素材。它的全称是：《谈谈正确引导理性在各门科学中寻求真理的方法》（Discourse on the Method of Rightly Conducting One’s Reason and Seeking the Truth in the Sciences）。它的通常被称为《方法论》（The Discourse）的绪论部分，包含了整本书的基本观念和哲学基本原理。
1701055049
1701055050
在这个开篇部分，笛卡儿提出了四条定律作为论述的指导原则。他写道：“第一条是：不能确知是对的事，不要接受。这就是说，在判断时谨慎地避免仓促和偏见，只接受那些非常清晰地印在脑海中不容置疑的东西。”(6)那么，他的哲学是一种系统化的怀疑。然而，他能够确定一件事，于是，他的名言就此诞生了：“我思，故我在。”他的一个传记作者斯蒂芬·高克罗格解释道：“笛卡儿开始时就向我们展示，假如一个人的怀疑足够大胆，那么，没有什么东西不能被怀疑，除了他在怀疑这个事实之外，而这需要存在某物正在被怀疑。”(7)
1701055051
1701055052
当然，光怀疑是不够的。我在前文已经指出，笛卡儿认为他可以运用数学作为基础来进行建构。正如他提出的：“我尤其喜欢数学，因为它们说理时的确定和明晰。但我还没有精确地掌握它们的正确用法；考虑到它们对机械技术的发展独一无二的贡献，这些基础如此牢固，它们无需我们再往前发展更多，我为此感到惊异。”(8)
1701055053
1701055054
他的书没有对世界做出完整的解释，但它的确主张所有的自然现象都可以做出机械的解释，这是一个非常有力的观念。紧接着这个相对简洁的绪论之后的，是三篇文章。文章举出了一些例子，说明他的方法是怎样得出这个结论的。其中的两篇将成为他跟费马争论的焦点。
1701055055
1701055056
第一篇《折射光学》（Dioptrics）探讨光的本质和特性。笛卡儿不把光看成是运动，而是一种压力或“一种运动的趋向”，它能够瞬间（或者非常接近瞬间）穿过某种弹性介质。这样就很自然地得出了他备受争议的理论：他相信，一个盲人的手杖敲击地面，产生的运动和阻力可以瞬间从敲击点通过手杖传到他手上，我们感受光线方式跟这一样。
1701055057
1701055058
因此，他认为光会在瞬间（或者接近如此）传播穿过光学介质，它的速度在密度大的介质中也就会更大，比如在水中就比在空气中大。
1701055059
1701055060
他也考虑过用碰撞来解释反射和折射。他猜想，在反射中，光线就像一个有弹性的球从一个弹性的表面弹回来一样。折射的道理类似，不过，在折射中，这个球击穿了这个表面。
1701055061
1701055062
通过这个推理，他提出了折射定律：一束光线入射角的正弦值与折射角的正弦值之比是一个常数。即：
1701055063
1701055064
1701055065
1701055066
1701055067
① 实际上笛卡儿和费马都没有用正弦函数。现代作者使用它是因为它在运用上的简便和描述上的清晰。17世纪的研究者们用来指称一个几何结构中的线条，以表示想得到的答案，这跟正弦函数相当。。
1701055068
1701055069
笛卡儿用数学方法推导出这个定律，这是一项惊人的成就(9)。
1701055070
1701055071
第二篇文章《大气现象》（Meteors）也许是人类首次真正尝试对天气做出的科学解释。里面有对彩虹如何产生的描述，这是他由折射定律得出的结论。
1701055072
1701055073
1701055074
1701055075
1701055076
数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054465]
1701055077
数学恩仇录：数学家的十大论战 笛卡儿的《几何》
1701055078
1701055079
在第三篇文章《几何》（Geometry）中，笛卡儿汇总了某些成果，后来证明，这是他在数学上的主要遗产。他提出并解决了古代流传下来的最难解的问题之一。这是古希腊几何学家阿波罗尼奥斯（Apolonius）在公元前3世纪想出来的问题。阿波罗尼奥斯同时代的欧几里得和大约600年后的巴伯斯对这个问题研究颇多。但是，尽管他们和后来的很多数学家做了大量工作，但在笛卡儿之前没有人能彻底解决它——也就是说，在笛卡儿之前，没人能给出一个通用的解法。
1701055080
1701055081
运用他自己的方法，笛卡儿在数年前去钻研这个问题，几周后解决了它。正如笛卡儿所说的这个问题是“给定三（四或更多）条直线，首先要求找到一个点，使得从这个点出发可以画出很多直线，每一条线都与某条给定的直线成一定角度……那么，既然通常有无数个点满足这些要求，就应该找到并描出包含所有这些点的曲线”(10)。
1701055082
1701055083
J·L·柯立芝（J. L. Coolidge）复述了这个问题：“如果从平面中的某一点出发，引出线段与四条给定的直线在平面中相交并成预定的角度，如果第一、三条线段的积与第二、四条线段的积的比是一常数，那么此问题中点的轨迹是一个二次曲线。”(11)
1701055084
1701055085
笛卡儿的主要贡献是给出了这个问题的通用代数解法。他给出的例子用到了四条直线，但他的方法对n条直线都通用。也可以将直线减少到一条，在这种情况下，我们所需要知道的就是给定线段的长度。这些线是坐标系的轴，轴的长度单位能让我们确定要求点的横纵坐标。
1701055086
1701055087
将方程与曲线联系起来，是他的方法的基本特征。同时，笛卡儿把这些点和曲线放在同一个坐标系里，这种做法是以前没有的。然而，这不是我们现在所熟悉的那种直角坐标系。他只用了一个固定的横轴和一个移动的纵轴，这条纵轴不一定是垂直的。但无论如何，这种做法都是一个重大的进步。