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当然，光怀疑是不够的。我在前文已经指出，笛卡儿认为他可以运用数学作为基础来进行建构。正如他提出的：“我尤其喜欢数学，因为它们说理时的确定和明晰。但我还没有精确地掌握它们的正确用法；考虑到它们对机械技术的发展独一无二的贡献，这些基础如此牢固，它们无需我们再往前发展更多，我为此感到惊异。”(8)
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他的书没有对世界做出完整的解释，但它的确主张所有的自然现象都可以做出机械的解释，这是一个非常有力的观念。紧接着这个相对简洁的绪论之后的，是三篇文章。文章举出了一些例子，说明他的方法是怎样得出这个结论的。其中的两篇将成为他跟费马争论的焦点。
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第一篇《折射光学》（Dioptrics）探讨光的本质和特性。笛卡儿不把光看成是运动，而是一种压力或“一种运动的趋向”，它能够瞬间（或者非常接近瞬间）穿过某种弹性介质。这样就很自然地得出了他备受争议的理论：他相信，一个盲人的手杖敲击地面，产生的运动和阻力可以瞬间从敲击点通过手杖传到他手上，我们感受光线方式跟这一样。
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因此，他认为光会在瞬间（或者接近如此）传播穿过光学介质，它的速度在密度大的介质中也就会更大，比如在水中就比在空气中大。
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他也考虑过用碰撞来解释反射和折射。他猜想，在反射中，光线就像一个有弹性的球从一个弹性的表面弹回来一样。折射的道理类似，不过，在折射中，这个球击穿了这个表面。
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通过这个推理，他提出了折射定律：一束光线入射角的正弦值与折射角的正弦值之比是一个常数。即：
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① 实际上笛卡儿和费马都没有用正弦函数。现代作者使用它是因为它在运用上的简便和描述上的清晰。17世纪的研究者们用来指称一个几何结构中的线条，以表示想得到的答案，这跟正弦函数相当。。
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笛卡儿用数学方法推导出这个定律，这是一项惊人的成就(9)。
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第二篇文章《大气现象》（Meteors）也许是人类首次真正尝试对天气做出的科学解释。里面有对彩虹如何产生的描述，这是他由折射定律得出的结论。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 笛卡儿的《几何》
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在第三篇文章《几何》（Geometry）中，笛卡儿汇总了某些成果，后来证明，这是他在数学上的主要遗产。他提出并解决了古代流传下来的最难解的问题之一。这是古希腊几何学家阿波罗尼奥斯（Apolonius）在公元前3世纪想出来的问题。阿波罗尼奥斯同时代的欧几里得和大约600年后的巴伯斯对这个问题研究颇多。但是，尽管他们和后来的很多数学家做了大量工作，但在笛卡儿之前没有人能彻底解决它——也就是说，在笛卡儿之前，没人能给出一个通用的解法。
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运用他自己的方法，笛卡儿在数年前去钻研这个问题，几周后解决了它。正如笛卡儿所说的这个问题是“给定三（四或更多）条直线，首先要求找到一个点，使得从这个点出发可以画出很多直线，每一条线都与某条给定的直线成一定角度……那么，既然通常有无数个点满足这些要求，就应该找到并描出包含所有这些点的曲线”(10)。
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J·L·柯立芝（J. L. Coolidge）复述了这个问题：“如果从平面中的某一点出发，引出线段与四条给定的直线在平面中相交并成预定的角度，如果第一、三条线段的积与第二、四条线段的积的比是一常数，那么此问题中点的轨迹是一个二次曲线。”(11)
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笛卡儿的主要贡献是给出了这个问题的通用代数解法。他给出的例子用到了四条直线，但他的方法对n条直线都通用。也可以将直线减少到一条，在这种情况下，我们所需要知道的就是给定线段的长度。这些线是坐标系的轴，轴的长度单位能让我们确定要求点的横纵坐标。
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将方程与曲线联系起来，是他的方法的基本特征。同时，笛卡儿把这些点和曲线放在同一个坐标系里，这种做法是以前没有的。然而，这不是我们现在所熟悉的那种直角坐标系。他只用了一个固定的横轴和一个移动的纵轴，这条纵轴不一定是垂直的。但无论如何，这种做法都是一个重大的进步。
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大体而言，他找到了一种方法，可以将卡尔达诺及其追随者的代数学运用到古代数学家的几何上。正如笛卡儿在《几何》中写道的：“在这里，我提请你顺便观察一下，促使古时作者在几何中运用算术术语时所作的考虑，这样做使他们在达到看清两个学科关系的程度后，尝试做出解释时引发很多含混和困难，因而无法再取得进展。”(12)
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用他自己的一条法则，笛卡儿认识到，应该去掉很多数字，不要作“让人费解的［几何］图形”，从而使过程让人望而生畏，而这就是前人所做的。回想卡尔达诺时代，方程还在用口头术语表述。临近16世纪末，一位亨利四世（Henry Ⅳ）的宫廷律师弗朗西斯·韦达（Francois Viete，1540—1603），在代数符号和方程理论的全面改进方面做出了一些重要贡献。韦达是首先用字母代表数的人之一，并至少引进了处于萌芽期的通用符号系统。但他的代数依然与我们今天的有很大不同。他仍然用几何意义来看问题。例如，他视两条线段的积xx为一个面积。于是，就有了这样一个问题：次数超过三次的方程在根本上是否有意义。
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笛卡儿在《几何》开头这样写道：“任何几何问题都可以很容易地简化成这样的术语：知道某些确定线段的长度，即足够对这个问题做出解释。”(13)在他看来，两条线段a和b的积不仅是一个矩形，还是一条线段。同样的，如x2和x3之类的术语也可以看成是线段，而不仅仅是平方或立方。结果，它能够用代数术语来重新表述几何问题，并用代数方法来解它。
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笛卡儿也为方程理论作出了有意义的贡献。他写道：“那么，如果我们想解决任何问题，我们首先假设解法是有效的，并命名所有看起来对解答有用的线——无论它们是否已知；然后，不区分已知和未知的线，通过任何看起来最自然的方式，排除困难得到这些线之间的关系，直到我们能够用两种方法表达出一个简单的数量。”(14)（也就是说，解出这个最后得出的方程。）
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这样，如果把两条曲线放在同一个坐标系中考虑，可以通过解这两条曲线的方程，找到它们的公共根，来得到它们的交点。
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那么，现在我们可以只用两个变量来表达这些关系。例如：如艾米莉·R·格罗绍兹（Emily R. Grosholz）（在巴伯斯的问题里也有）所说：“给定线与轨迹上某点C之间的距离，可以用代数式ax＋by＋c来表达，决定该轨迹的条件可以用有两个未知数的方程来表达。对于三条或四条给定的线，这个方程将会是二次方程；对于五条或六条线，会是三次方程，如此类推。每引入两条线，方程的次数就高一次。”(15)
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