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① 实际上笛卡儿和费马都没有用正弦函数。现代作者使用它是因为它在运用上的简便和描述上的清晰。17世纪的研究者们用来指称一个几何结构中的线条，以表示想得到的答案，这跟正弦函数相当。。
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笛卡儿用数学方法推导出这个定律，这是一项惊人的成就(9)。
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第二篇文章《大气现象》（Meteors）也许是人类首次真正尝试对天气做出的科学解释。里面有对彩虹如何产生的描述，这是他由折射定律得出的结论。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 笛卡儿的《几何》
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在第三篇文章《几何》（Geometry）中，笛卡儿汇总了某些成果，后来证明，这是他在数学上的主要遗产。他提出并解决了古代流传下来的最难解的问题之一。这是古希腊几何学家阿波罗尼奥斯（Apolonius）在公元前3世纪想出来的问题。阿波罗尼奥斯同时代的欧几里得和大约600年后的巴伯斯对这个问题研究颇多。但是，尽管他们和后来的很多数学家做了大量工作，但在笛卡儿之前没有人能彻底解决它——也就是说，在笛卡儿之前，没人能给出一个通用的解法。
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运用他自己的方法，笛卡儿在数年前去钻研这个问题，几周后解决了它。正如笛卡儿所说的这个问题是“给定三（四或更多）条直线，首先要求找到一个点，使得从这个点出发可以画出很多直线，每一条线都与某条给定的直线成一定角度……那么，既然通常有无数个点满足这些要求，就应该找到并描出包含所有这些点的曲线”(10)。
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J·L·柯立芝（J. L. Coolidge）复述了这个问题：“如果从平面中的某一点出发，引出线段与四条给定的直线在平面中相交并成预定的角度，如果第一、三条线段的积与第二、四条线段的积的比是一常数，那么此问题中点的轨迹是一个二次曲线。”(11)
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笛卡儿的主要贡献是给出了这个问题的通用代数解法。他给出的例子用到了四条直线，但他的方法对n条直线都通用。也可以将直线减少到一条，在这种情况下，我们所需要知道的就是给定线段的长度。这些线是坐标系的轴，轴的长度单位能让我们确定要求点的横纵坐标。
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将方程与曲线联系起来，是他的方法的基本特征。同时，笛卡儿把这些点和曲线放在同一个坐标系里，这种做法是以前没有的。然而，这不是我们现在所熟悉的那种直角坐标系。他只用了一个固定的横轴和一个移动的纵轴，这条纵轴不一定是垂直的。但无论如何，这种做法都是一个重大的进步。
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大体而言，他找到了一种方法，可以将卡尔达诺及其追随者的代数学运用到古代数学家的几何上。正如笛卡儿在《几何》中写道的：“在这里，我提请你顺便观察一下，促使古时作者在几何中运用算术术语时所作的考虑，这样做使他们在达到看清两个学科关系的程度后，尝试做出解释时引发很多含混和困难，因而无法再取得进展。”(12)
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用他自己的一条法则，笛卡儿认识到，应该去掉很多数字，不要作“让人费解的［几何］图形”，从而使过程让人望而生畏，而这就是前人所做的。回想卡尔达诺时代，方程还在用口头术语表述。临近16世纪末，一位亨利四世（Henry Ⅳ）的宫廷律师弗朗西斯·韦达（Francois Viete，1540—1603），在代数符号和方程理论的全面改进方面做出了一些重要贡献。韦达是首先用字母代表数的人之一，并至少引进了处于萌芽期的通用符号系统。但他的代数依然与我们今天的有很大不同。他仍然用几何意义来看问题。例如，他视两条线段的积xx为一个面积。于是，就有了这样一个问题：次数超过三次的方程在根本上是否有意义。
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笛卡儿在《几何》开头这样写道：“任何几何问题都可以很容易地简化成这样的术语：知道某些确定线段的长度，即足够对这个问题做出解释。”(13)在他看来，两条线段a和b的积不仅是一个矩形，还是一条线段。同样的，如x2和x3之类的术语也可以看成是线段，而不仅仅是平方或立方。结果，它能够用代数术语来重新表述几何问题，并用代数方法来解它。
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笛卡儿也为方程理论作出了有意义的贡献。他写道：“那么，如果我们想解决任何问题，我们首先假设解法是有效的，并命名所有看起来对解答有用的线——无论它们是否已知；然后，不区分已知和未知的线，通过任何看起来最自然的方式，排除困难得到这些线之间的关系，直到我们能够用两种方法表达出一个简单的数量。”(14)（也就是说，解出这个最后得出的方程。）
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这样，如果把两条曲线放在同一个坐标系中考虑，可以通过解这两条曲线的方程，找到它们的公共根，来得到它们的交点。
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那么，现在我们可以只用两个变量来表达这些关系。例如：如艾米莉·R·格罗绍兹（Emily R. Grosholz）（在巴伯斯的问题里也有）所说：“给定线与轨迹上某点C之间的距离，可以用代数式ax＋by＋c来表达，决定该轨迹的条件可以用有两个未知数的方程来表达。对于三条或四条给定的线，这个方程将会是二次方程；对于五条或六条线，会是三次方程，如此类推。每引入两条线，方程的次数就高一次。”(15)
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笛卡儿也引入了一套符号系统，与我们今天所用的非常接近。在这套系统里，字母表结尾的一些小写字母代表未知数，开头的那些字母代表常数和已知数。
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最后一章主要是《几何》的结论部分。通常，笛卡儿被认为是解析几何的缔造者。解析几何意味着，在这套几何里，一个点用由几个数构成的集合表示，这些数位于现在被称为（笛卡儿）坐标系的坐标系统里；一个几何图形可以认为是点的集合，可以用方程或代数式来描述。然而，这个学科真正建立起来还要很长一段时间。实际上，直到19世纪，这个学科才有了“解析几何”这个名字。
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1637年，在给梅森的一封信中，笛卡儿谦虚地说：“我不喜欢自夸，但既然只有少数人理解我的几何，而且你希望我把对它的评价说给你听，我想这正是我所希望的。在《折射光学》和《大气现象》中，我只是想让人们知道我的方法比一般人的要好点。在我的几何里，我已经证明了这个。因为在开始的时候，我就解决了这样一个问题，而据巴伯斯说，古代任何一个几何学者都没能解决这个问题。”(16)
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正如我上文所说，在这一点上，他错了。古人已经解决了这个问题，但只是针对两三个特例；而他却找到了一个通用解法，这是古人没做到的。总之，笛卡儿认为他找到了一个可靠、有用而且独特的方法。对他来说，这个成就是世界首创的。例如，他完全相信他已经首次研究出发现真理（即可靠、确定的知识）的一个独特方法。虽然他的方法对很多种知识都有效，但他只对发现科学中的“真理”感兴趣。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054466]