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在费马关于鞠躬的那一行，我们可以看到另一个典故。“我终于向你的出众能力鞠躬。”这句话是查理斯·E·贝内特（Charles E·Bennett ）对拉丁诗人贺拉斯（Horace）《抒情诗》（Epode）第17首《一个嘲弄式的公开道歉》（A Mock Recantation）(47)第一行的翻译。在这首诗里，主人公被判决去宣传另一人的不朽荣誉。显然，费马没指望他的信能取得预期效果，但这并不意味着他不打算去竭力争取自己应得的荣誉。
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还有一些这样的典故，费马实际上还是没有达到他期望的恢复名誉的效果，然而这些话足够使他的信平添很多滋味。同时，请注意这封信的遣词造句。梳理出这段话的真实意思很不容易，但我们可以看出它的关键句子是：“人们会期望这个命题被实在地用合理的方法证明过。”不管他的话多么漂亮，他的意图就是笛卡儿的命题没有经过合理而充分的证明。
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最后，让我们关注他对笛卡儿的论据的抨击。比起1637年，费马用语更加强硬和直率。例如，他再次抨击笛卡儿对正弦定律的证明。但哈佛的荣誉退休教授A·I·萨巴拉（A. I. Sabra）说：“如他20年前所相信的那样，这个定律不具有决定性；但现在不再因为这个，而仅仅是因为，现在对他来说，它建立在一个‘既不是公理，也不是……从任何根本的原理合理推导出来的’假设之上。”(48)
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然而，在辩论过程中，费马提出了一个重要的观点，这个观点后来被称为费马最短时间原理（Fermat’s principle of least time）。它宣称，本质上，在一个自然的过程中，物体将沿着最短的路径或可能的最短时间运动。1661年，在这个原理的基础上，通过他自己的努力，用了与笛卡儿有些不同的假设，他用数学方法推导出自己的正弦定律。他声称，本质上，在折射中，光学距离——光经过的距离与相应折射系数的积——是一个最小值。
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有趣的是，大多学者觉得，虽然他对笛卡儿研究成果的一些反对意见是正确的，但他的正弦定律被证明与笛卡儿的毫不矛盾：sini＝nsinr。
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然而，萨巴拉主张，两人的正弦定律是不完全一样的。他写道，虽然两个正弦定律都断言正弦的比值是常数，但费马认为笛卡儿在推论的过程中用了这样的公式：，但是它实际上应该是 (49)。
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但这无关紧要。直到1657年，才有了第一个对光速的合理测定。所以，无论如何，对费马定理的实验验证在当时都还不可能。克雷色列尔争辩说，相信光从一种介质进入另一种介质时，自然能够改变它的本性，这是荒谬的。
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费马的方法使他推断光速是有限的，光在空气中比在水中传播得快。这两个推论极具洞见，恰好与笛卡儿的结论相反。科学最终站在了费马这一边。他的原理——后来扩展为包括最大值和最小值——在现在被认为是光学的一个基本定律，但在当时，这些定律没有一个是广为人知的。
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萨巴拉总结道：“面对这样一个出人意料的结果（同样的折射定律），如他（费马）所说，他希望离开这个战场，把首先发现这个重要真理的荣誉留给笛卡儿，而自己满足于做第一个给出真正证明的人。随着1662年5月21日他给克雷色列尔的信中这个有条件声明的出台，这场争端落下了帷幕。”(50)
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在这两段插曲之间的20年，笛卡儿远离了数学。但在另一方面，费马却继续勤奋钻研，这使得笛卡儿对费马数学能力的诋毁显得既悲哀又不得体。到17世纪30年代，费马已经显示出他的才能，虽然还不那么广为人知。笛卡儿对费马才华的不悦是笛卡儿的问题，而不是费马的问题。因为在中间的这些年，费马继续努力地钻研数学，并作出好几个重大贡献。首先，他的最短时间原理为物理学数个领域打下了好基础。实际上，这个原理的一个适当修改形式，可以说是整个几何光学的基础。
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费马同样在数论和概率论领域作出了重大贡献，为微积分的发展打下了基础，这一点我们马上就会讨论（详见本书第3章）。实际上，他的成果影响了很多后来的数学家，包括让·伯努利（Jean Bernoulli）（详见第4章）。然而，由于费马不愿意及早发表，他自己在几何光学上的论文直到1679年才出版，这时他已经去世14年了(51)。
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尽管如此，费马还是得到了一些小小的认可，但这大都是他在1665年去世之后的事。到1662年，或许费马对自己的新成果只有很少人的有兴趣感到沮丧，他实际上已经完全从这个领域退出来了。在他生命的最后15年，费马在数论方面的工作在同行间没有引起共鸣，当他去世时，比起理应获得的，他获得的荣誉太少了。部分原因是他对发表论文的态度没有明显的改变。他写信给一个朋友说：“我更愿意去探索具有确定性的真理，而不愿意花更多时间在辩论、虚名和无谓的争执上。”(52)
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另一方面，在最后的这些年，笛卡儿《几何》的新版本一直在出版，而且在不断澄清和简化其理论的努力下，他的论述获得了新的信徒和影响。费马的科学理论也在完善中。但是，有趣的是，正是他们两人在解析几何上的研究最终导致了这个世纪后期微积分的发展，这反过来也促使了笛卡儿科学理论的衰落。
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相比笛卡儿的方法，费马在解析几何上的基本方法与我们现在所用的要接近得多。但是，最后我们还得提出一个问题：费马坚持使用维达的笨重符号，而笛卡儿所用的符号则非常现代化。
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两人都对17世纪的数学作出重大贡献。但令人悲伤的是，这个过程却引发了如此多的辛酸和苦痛。
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(1) 笛卡儿，1954年，前言。
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(2) 马霍尼，1994年，第171页。
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(3) 笛卡儿，米多尼克文集，1965年，第291页。
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(4) 同上书，第292页。
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(5) 高克罗格，1995年，第100页。出自笛卡儿的《指导心灵的规则》（Rules for the Direction of the Mind，1619—1628），科廷汉姆（Cottingham）和高克罗格翻译。
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(6) 笛卡儿，哈钦斯（Hutchins）编著，1952年，第47页。