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(48) 萨巴拉，1981年，第130页。
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(49) vi＝入射光的速度，vr＝折射光的速度。萨巴拉，1981年，第149页。
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(50) 萨巴拉，1981年，第135页。
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(51) 《Ad Locus Pianos et Solidos Isagoge（直线和二次曲线形成的轨迹导论）》。
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(52) 给议院马林·库洛（Marin Cureau）的信，1662年1月1日。埃里克·西蒙译。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 3 牛顿vs莱布尼兹 微积分发现之争
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在18世纪之初，一个英国人——伊萨克·牛顿和一个德国人——威尔海姆·戈特弗里德·莱布尼兹，投入了一场激烈的战斗。他们从未谋面，很明显也没有用拳头和刀子。但科学史家丹尼尔·布尔斯丁（Daniel Boorstin）将他们的争斗命名为“世纪景观”(1)。恩斯特·卡西尔（Ernst Cassirer）在颇有声望的《哲学评论》中，称它为“现代思想史上最重要的现象之一”(2)。
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人们通常把这场激烈的战斗描述为为谁先发明微积分的争斗。从根本上来说，它既不为财，也不为色，听起来一点都不像那种你死我活的故事，但它持续了好多年，并且痛苦越来越深。
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究竟是为了什么这事闹得如此之大？首先，它牵涉了人类有史以来最杰出的两位天才。我们更为熟悉的一位天才是伊萨克·牛顿，这里不需要做任何介绍。稍不熟悉的是威尔海姆·戈特弗里德·莱布尼兹，一位德国的哲学家、数学家，他在符号逻辑和微积分，还有其他好几个领域，特别是宇宙论和地质学，都建立了很重要的草创之功。
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其次，在开始的时候，很少有同时代的人能理解或延续他们的微积分研究工作，但很快，大家就明白，这是解决很多自然科学和数学问题的一个新方法，有效且通用，而这些问题在此之前都是无法解决的。
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这场争端也产生了一些难以预料的奇怪后果。例如，它在现代科学论文写作规范的发展上扮演了重要的角色——特别是那些引用了别人的成果和清楚明白地吸收前人成果的论文。
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另外，由于这两人的追随者富有侵略性的行为，使得这场争端火热了一个多世纪。甚至在英国和汉诺威领导人对英格兰王权旷日持久、陷入胶着的争夺中，这场关于微积分发明权的争斗也扮演了一个“角色”。在汉诺威人对自身优势的声明中，莱布尼兹的追随者说，莱布尼兹对微积分的发明是其中一项。牛顿的支持者嘲笑了汉诺威的声明。一位名叫约翰·凯尔（John Keill）的英国人，认为这些声明是企图偷窃牛顿的天才成果。
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微积分之争就是这样一场战斗：牛顿使用了一些很强硬的斗争策略——有些追随者也许会用更激烈的词汇，牛顿看起来也是大获全胜。这个结果给莱布尼兹的晚年生活蒙上巨大的阴影，但是如果他活得足够长，他会看到一个完全意外的结果。虽然莱布尼兹在这场战斗中输了，但我们可以公正地说，他实际上是赢了——尽管你很难从他们两人在今天的名望来了解这件事。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 牛 顿
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当微积分从牛顿和莱布尼兹这样的天才人物脑中喷发而出时，没有别的东西能比它更复杂、影响更深远。费马求最大值、最小值的方法已经为通向微分的路作了一个直接的铺垫，它是微积分研究过程中一个重要的步骤。然而，像牛顿这样的智者，在这个数学分支里，他究竟怎样为其数学研究工作打下基础，没有人能确切地说出来。我们确切知道的是他广泛阅读了那个时代的数学著作。他阅读过并融会贯通、彻底演算过的书中有一本是笛卡儿的《几何》，他也研究过欧几里得几何，据说他认为欧氏几何很琐屑无聊。
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他研读过的其他作者有：硕果累累的苏格兰数学家詹姆斯·格雷戈里（James Gregory）、伽利略、牛顿在校时的亲密导师伊萨克·巴罗（Isaac Barrow）。我们有一个特别的线索：牛顿的确告诉过我们，将他引向此领域第一个发现的是对《无穷算术》（Arithmetica Infinitorum，1655）的研读，这本书是杰出的英国数学家、密码专家、传教士约翰·沃利斯（John Wallis）所写的关于解决曲线积分（求曲线下的面积）问题的著作。
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当牛顿还是剑桥大学三一学院的一个学生时，他就开始了他的数学研究工作。1665年6月，他获得了学士学位。接着，一场瘟疫使学校关闭了18个月。他的家乡在距英格兰中部诺丁汉（Nottingham）东南30英里的小镇乌尔索普（Woolsthorpe）。在那里，他坚持自学。然而，在这段时间，也许他有时短暂地回到学校，做一些阅读或者实验之类的事。
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显然，至少对于牛顿来说，他这段时间的强迫性自学是最好不过的事情了。这段日子里，从1665年到1666年，他为在光学、天体力学和数学（包括微积分）等领域的研究打下了基础。作为研究工作的一部分，他把沃利斯的成果扩展到了无穷级数。牛顿意识到很多数学方程可以用无穷级数来表达，并作了应用。在运用它们的过程中，他找到了曲线长度和切线的通用表达式以及处理求积问题（计算被曲线包围图形的面积）的方法。微积分运用者会公认这是该领域的起点(3)。
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在这一点上，一个默默无闻的25岁左右的年轻人牛顿，已经超越了他在剑桥的老师，甚至超过了当时最顶尖的数学家之一沃利斯。直到那时，数学家们一直以为运动物体的轨迹是一系列的点，而牛顿则说它应该被看作是一个持续运动的点所画的图形。他提出，既然一个朝某点运动的点的速度是路程x除以时间t，即x/t，那么如果我们把x和t都不断减少，就会发生很有趣的事。于是，一个持续并有限的运动等于无穷小路程与无穷小时间的商。他用“流”（fluent）来称这个运动的点，并用“流数”（fluxion）来称呼它的速度，这是“流”的派生词或它的变化率。
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