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然后，约翰将该问题中的垂直平面划分成一系列很窄的水平条带，从一个条带到下一个条带，它们的物质密度有轻微的变化。尽管该质点穿过每个条带时将走直线，但从一个条带到下一个条带时，它的路径将有轻微的弯曲，就像在一系列折射系数有轻微变化的光学介质中一样。于是，该质点的最短时间路径与一个光束穿过一个个介质层时方向做无穷小变化时是一样的。
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接着，约翰写道：“但是，我们现在很容易看到，最速降线就是这样一条曲线：光在穿过一种密度与一个重物在下降过程中的速度成反比的介质时所走过的路径。确实，速度的增加是否取决于阻尼介质含量的多少？我们是否不考虑介质，并假定加速度是由另外的原因遵照与重力相同的定律引起的？——这两种情况下，穿越介质所形成的曲线用的时间都是最短的。我们是否有必要用一种代替另一种呢？”(16)通过让水平条带的数量趋于无穷，他得到了悬链线的曲线。
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另一方面，雅各布提出了一个更形象但乍一看似乎更笨拙的方法：他画了一条曲线，然后用它作为分析的基础。他说：“这个问题可以由此简化为这样一个纯几何问题：求一条曲线，线上所有点的横坐标在一条正比例线上，而纵坐标的平方根在一条正比例线上。”(17)所得的曲线正是要求的。用他们各自的方式，两人向我们展示了这条曲线的正确形式恰好是一条摆线！雅各布的方法更好一些，它更直接、更通用。也就是说，它为同类型的其他几个问题提供了一些通用的法则。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 变分法
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数学史家E·T·贝尔说：“詹姆斯(18)·伯努利（就是雅各布）的非凡价值在于——他认识到，从无数曲线中选出一条有给定的最大值和最小值的曲线，这是一种不能用微分解决的新问题，需要发明新方法。这就是变分法在数学上的起源。”(19)
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变分法是某种广义的微积分。它寻求找到给定的有固定值的方程的轨迹、曲线、曲面。在物理问题中，变分法通常用来求最大值和最小值。
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尽管贝尔认为雅各布是这种形式微积分的开创者，但这个说法值得商榷——争论似乎困扰着伯努利家的一切，这是又一个例子。著名学者莫里斯·克莱因同意贝尔的说法，他说，虽然两种解法被证明都有些超前，但在这方面，雅各布的解法更甚(20)。
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但是约翰的解法建立在费马的最小作用量原理上，确实指出了这个问题的解决方向。其他人认为约翰更应该得到这项荣誉。一部重要的数学原始资料的编辑大卫·尤金·史密斯（David Eugene Smith）写道：“一般都认为，变分法起源于让·伯努利（就是约翰）对最速降线的解决。”史密斯的论据围绕着这样的事实：约翰“在一般变分法较简单的问题上，提出了在大体上即使不精确但也是很全面的观点。”(21)
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数学史家斯图尔特·霍林代尔（Stuart Hollingdale）立场更坚定：“正是让·伯努利引导欧拉研究了变分法。”(22)
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这里的一个麻烦在于：问题的焦点是，大家说的是约翰的哪个解法——形势再次不明朗了。J·J·奥康纳（J. J. O’Connor）和E·F·罗伯特森（E. F. Robertson）为一个数学史网上论坛写过一系列关于伯努利兄弟的文章，他们争辩说：约翰后来找到了一个巧妙的解法，该解法利用了布鲁克·泰勒（Brook Taylor）的一个成果，发表于1718年(23)。史密斯认为不是这样的，“这种直接的解法在莱布尼兹和约翰于1696年往来的几封信里都提到过，也在莱布尼兹发表在《博学学报》5月号上关于悬链线问题的评论里提到过。”
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史密斯承认“这个解法直到1718年才发表，那时雅克（即雅各布）和莱布尼兹都已经去世了。”但他争辩说：“很显然，有人认为这是事实，他们相信让剽窃了他哥哥雅克，为的是使他哥哥关于获得了又一个解法的声明落空。让自己声称之所以延迟发表他的第二个解法，是遵照了莱布尼兹在1696年给他的劝告。”(24)
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作为反驳，霍林代尔辩解道：“然而在欧拉涉足这个课题前，还没有通用的解法。”(25)换句话说，伯努利兄弟用这种方法只解决了某些特殊问题，如最速降线。欧拉在1732年左右开始研究这个领域，他更热衷于找到一个通用的理论。但是，我们今天看到的这项成果的形式是另一位伟大的数学家约瑟夫-路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）提出来的。
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在变分法的起源上，拉格朗日怎么看？史密斯认为：“在变分法的开创工作上”，他（拉格朗日）强调“让扮演的角色和雅克同样重要”(26)。
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我们追溯得太远了。好了，让我们接着开始的话题讲。
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霍林代尔加进了一个有趣的观点：“物理学家以及18世纪的科学家把‘最小作用量原理’作为自然科学研究的指导性原则加以应用，有力地推动了变分法的发展。”(27)
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具有讽刺意味的是，这个原理也有强大的理论支持。欧拉说，“既然宇宙的构造和最睿智的造物主的作品是最完美的，那么宇宙中发生的事没有不符合最大值或最小值法则的。”(28)看到这里，人们的脑海里再一次浮现出约翰对费马最小作用量原理的运用。
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无论如何，当伯努利兄弟发现摆线也是最速降线问题的答案时，他们既惊讶又高兴。约翰在他的文章中写道：“带着欣赏，我们敬佩惠更斯，因为他首先发现，一个重质点沿着一条普通的摆线下降时，无论它从摆线的什么地方开始下降，所用的时间都是一样的。但是，当我告诉你就是这个摆线，也就是惠更斯的等时曲线，恰恰就是我们要求的最速降线时，你一定会惊呆的！”后来，他再一次提起了这个想法：
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惠更斯的等时曲线与我们的最速降线出人意料地一致，在下结论之前，我抑制不住想表达这个惊喜……因为，正如自然习惯于用最简单的方式超前发展，这里它也用一个曲线发挥了两种作用，尽管在任何其他的假设中，两条曲线将是必需的，一条是等时摆动的，另一条是最快下降的。比如，如果下降物体的速度不随高度（下降通过的）的平方根而随它的立方根变化，那么，最速降线的表达式将是代数式，而另一方面，等时曲线（就将是）超越式的(29)。
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在雅各布关于最速降线论文的最后，他列出了可以用他的方法解决三种其他问题，第三个是“找出不同的等周形”。这个问题的起源可以追溯到古希腊以前的时期。从根本上来说，它寻求找到给定周长的平面封闭曲线中哪种图形的面积最大。雅各布构思了一个复杂的例子，并指名道姓地向约翰发出挑战。他甚至悬赏50杜卡特，如果约翰能在年底或6个月后解决这个问题，就可以得到这笔钱。
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现在，雏鹰真的开始展翅高飞了。
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