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无论如何，当伯努利兄弟发现摆线也是最速降线问题的答案时，他们既惊讶又高兴。约翰在他的文章中写道：“带着欣赏，我们敬佩惠更斯，因为他首先发现，一个重质点沿着一条普通的摆线下降时，无论它从摆线的什么地方开始下降，所用的时间都是一样的。但是，当我告诉你就是这个摆线，也就是惠更斯的等时曲线，恰恰就是我们要求的最速降线时，你一定会惊呆的！”后来，他再一次提起了这个想法：
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惠更斯的等时曲线与我们的最速降线出人意料地一致，在下结论之前，我抑制不住想表达这个惊喜……因为，正如自然习惯于用最简单的方式超前发展，这里它也用一个曲线发挥了两种作用，尽管在任何其他的假设中，两条曲线将是必需的，一条是等时摆动的，另一条是最快下降的。比如，如果下降物体的速度不随高度（下降通过的）的平方根而随它的立方根变化，那么，最速降线的表达式将是代数式，而另一方面，等时曲线（就将是）超越式的(29)。
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在雅各布关于最速降线论文的最后，他列出了可以用他的方法解决三种其他问题，第三个是“找出不同的等周形”。这个问题的起源可以追溯到古希腊以前的时期。从根本上来说，它寻求找到给定周长的平面封闭曲线中哪种图形的面积最大。雅各布构思了一个复杂的例子，并指名道姓地向约翰发出挑战。他甚至悬赏50杜卡特，如果约翰能在年底或6个月后解决这个问题，就可以得到这笔钱。
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现在，雏鹰真的开始展翅高飞了。
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1697年，约翰提出了一个解法，并宣布应该获得奖金。然而，他没有考虑到等周形问题的变更形式，因此只提供了一个不完整的解法，所得的微分方程少了一阶。雅各布见此很高兴，把他的弟弟无情地批评了一番。
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E·A·费尔曼（E. A. Fellman）和J·Q·弗莱肯斯坦（J. Q. Fleckenstein）在《科学传记辞典》（Dictionary of Scientific Biography）中写道：“这是两兄弟疏远并公开不合的开始，也是变分法的诞生之时。”(30)（但这是变分法诞生的另一种方式）
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约翰对雅各布等周形问题的分析，在1701年2月通过法国数学家皮埃尔·伐里农（Pierre Varignon）递交给巴黎科学院。1701年5月，雅各布把他的解法寄给《博学学报》。后人将他的解法与约翰的解法相对比，清楚地表明雅各布的解法更胜一筹。不幸的是，对这个特别的胜利，雅各布却不能为之狂喜。约翰的解法装进了一个密封的信件里，不知什么原因，这封信直到1706年4月才被打开，而这时雅各布死了差不多一年时间。
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这是因为甚至在那时约翰就意识到了这个真理吗？他从来没有承认是这样。很久以后——他哥哥已去世，他吸收了布鲁克·泰勒（Brook Taylor）的成果（《增量法》，1715年）——他提出了一个针对等周形问题的巧妙解法。1718年提出的这个方法包含了一些变分法的现代观念，欧拉和拉格朗日将会继续发展这些观念。但是，很奇怪的是，这个解法让人想起了雅各布的解法和风格(31)。
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这项荣誉应该归于约翰吗？也许更确切的说法是：由于他们极度好争论，两人都有贡献，这贡献可能是雅各布最初的解法引起的。
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1705年，雅各布死了，这使两兄弟之间奇怪的关系产生了新情况。雅各布的众多兴趣中，有一个课题是概率。从1684年到1690年，他在这上面花费了大量精力。虽然两兄弟大部分的数学成果都发表在杂志上，特别是在《博学学报》上，但是雅各布在他生命的最后两年，致力于一本概率论课本的撰写。这本书就是《猜想的艺术》（Ars Conjectandi，The Art of Conjecture）。
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这本书包含了组合和排列的基本原理：人们常说的弱大数定律，也以伯努利定理为人所知。今天它已被当作概率论中一个主要的工具。这本书还包括很多其他内容。这是他最重要的专著，也是第一本关于概率的有重要影响的著作。今天，只要用到统计方法的地方，如保险、天气预测、人口采样，都会用到这本书的知识。
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这本书分成四个部分，第二部分是关于组合和排列的，他以此做二项式定理指数为正整数时的例证。这一部分还有一张公式和前n个整数r次幂之和的表。运用这张人称伯努利数的表，可以计算出前1000个整数的10次幂的和。接着，雅各布向人们展示他的杰作，并写道：
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在这张表格的帮助下，我花了不到一刻钟的时间就求出了前1000个数10次幂的和。它的值是：
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91，409，924，241，424，243，424，241，924，242，500
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从这里，我们很清楚地看到，伊斯梅尔·布利奥（Ismael Bullialdus）在编辑其卷帙浩繁的《无穷算数》（Arithmetica infinitorum）上的努力是多么的无 益。书中，他除了费尽心力计算前n个数的6次幂外，什么都没做，而这仅仅只是我们在一页纸上就能做好的工作的一部分(32)。
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雅各布死时，这份手稿接近完成。但即使他死后，两兄弟之间的仇恨仍没有消减。这项成果在约翰的监督下发表，看上去理所当然。雅各布的遗孀根本就反对这个想法，她担心那位报复心重的弟弟会利用这个机会损害甚至彻底破坏这项事业。约翰的大儿子尼古拉（Nicholas）在和雅各布一起做研究时读过这份手稿，本着忠诚的家族精神，在雅各布死后，他在他的论文里引用过它，也在其他地方引用过。当这份手稿在1713年最终出版时，尼古拉写了一篇简短的前言。在承认他太年轻，缺乏经验为这份手稿的出版做得更多之后，他说他建议出版商将它公之于众，尽管作者已经离开了这个世界。这本书后来成为雅各布取得崇高声誉的核心著作。
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雅各布似乎预见自己会早死，至少他担心过。在他的研究过程中，他钻研过吸引人的等角螺线问题。这是一种可以在海贝和蜘蛛网上看到的曲线。它和圆有些相似，但有一个主要的区别。圆与它的半径相交成直角，而等角螺线虽然也与它的半径相交成一定角度，但这个角不是90度。有某种神秘心理倾向的雅各布，被这种在很多种数学变换中一再出现的曲线所吸引。他请求别人把这种曲线和碑铭“纵使改变，依然故我”（Eadem mutate resurgo）一起刻在他的墓碑上。1705年雅各布去世时，他还很年轻，只有51岁。至死他都一直把持着巴塞尔大学的数学讲座教授的席位。他的席位现在空出来了，提供给了约翰，而这是约翰非常乐于接受的。
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