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克罗内克的成就主要在于他在整合算术、代数和分析学上的努力，以及他在椭圆方程上的贡献。他在代数和数论方面做出了很多改进，也提出了很多新观念和新定理，例如他在无穷级数收敛上的定理。
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有趣的是，克罗内克有点特立独行。比如，他相信所有的算术可以建立在整数的基础上。因此，他认为在算术中，分数仅仅是派生出来的，只有充当符号的用途。除了几何和机械之外，他对所有的数学学科进行了分类，但他把代数和分析归入算术一类。因为他相信所有的算术都可以建立在整数的基础上，他认为不仅是分数，无理数和复数也都是错误和虚幻的观念，它们是运用一些错误的数学逻辑得出来的。
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于是，当费迪南德·林德曼（Ferdinand Lindemann）写了一篇论文，里面有证明超越数存在的内容时，克罗内克会评论说：“你对数π的漂亮研究有什么用？无论如何无理数根本就不存在，为什么要在这样的问题上费脑子？”(6)他相信最终会找到一个办法重组这些“不自然”的形式，得到一个只包含自然数的更基本的形式。他说过一句漂亮的俏皮话：“上帝创造了整数，所有其他的数都是人造的。”
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克罗内克和康托尔发生冲突，有什么好奇怪的呢？
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但克罗内克研究数学的方法也让他和其他一些同行发生了争执。虽然克罗内克谨慎地不与他视为对手的同行发生激烈争执，也不发表恶毒的评论，但他还是没有做到，照样用下流、伤人的方式行事，在背后诋毁他们。他中伤的这些人中间，就有他昔日的好友魏尔斯特拉斯。两人生命的最后几年，他们一直都在为他们的数学观点争执。魏尔斯特拉斯作为一个杰出教师的巨大成功，也很让克罗内克恼火和沮丧。
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从一封1885年魏尔斯特拉斯给他的同行索尼娅·柯瓦列夫斯基（Sonya Kowalevsky）的信中，我们可以了解克罗内克的所作所为。他写道：
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但最糟的是，克罗内克利用他的权威宣称，迄今为止，所有致力于建立方程理论的人在主面前都是罪人。当一个像克里斯托费尔（Elwin B. Christoffel）这样极其古怪的人说二三十年后现有的方程理论将全都过时时……我以耸肩作答。但［接着］克罗内克下了这样一个定论——我一字不漏地重复他的话：“如果时间和精力允许，我将展示……更严格的方法。如果我不能亲自做到，接替我的人会……，它们会认同所有当今那些所谓的分析工作的错误。”一个有着卓越才能和杰出成就的人下出这样一个论断……我由衷地钦佩……像他所有的同事一样。这不仅对那些诚恳承认犯错的人是一种耻辱……也直接诱导年轻一代抛弃他们的前辈并凑集在他的周围……看到一个曾经无瑕的人，在自我膨胀驱使下，说出这些影响恶劣的话——而这种影响他似乎觉察不到，这种事确实让人伤心，让我内心充满了苦涩与悲痛(7)。
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克罗内克身材矮小，而魏尔斯特拉斯身材高大。数学史家阿米尔·D·阿克泽尔（Amir D. Aczel）这样形容他所说的“这些冲突的滑稽特性”：“这个小个子男人经常攻击这个大个子，就像一只小狗在追一只圣伯纳狗。”(8)为了躲避和克罗内克的争执，魏尔斯特拉斯甚至想逃到瑞士去。但他又担心克罗内克极有可能会成为他的继任者，那样人们为了迎合克罗内克，他（魏尔斯特拉斯）的工作就没有人接着做了。他坚持留了下来。到1888年，魏尔斯特拉斯让他的几个朋友知道，他和克罗内克的友谊结束了。但是很显然，克罗内克从来没有意识到自己的言行对魏尔斯特拉斯的伤害有多深。后来在好几个场合中，他都称魏尔斯特拉斯是他的朋友之一。
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克罗内克还和他长期的朋友兼同事赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz）发生了一场有趣的争执。施瓦茨是库默尔的女婿，曾经是魏尔斯特拉斯的学生。记住，魏尔斯特拉斯是一个大个子；而克罗内克不仅很矮，而且对此很忌讳。1885年，施瓦茨问候他，说了这样的话：“不尊敬矮子的人，不配称作才俊。”施瓦茨显然认为他在聪明且幽默地对克罗内克致以敬意。克罗内克却不认为这是一个玩笑，但是之后他没有发出任何尖锐的书面回应，连口头的都没有。他只是再也不跟施瓦茨打交道了。
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因此，康托尔不是唯一一个和克罗内克闹翻的人。当我们了解一下克罗内克具有的因素——他在数字和无穷上的固执观念；他在学术和出版界的声誉和强大地位；他向人施加影响和权威的能力时，我们会明白为什么康托尔会成为他最大的靶子。这里还有另外一个争议：他这样对待康托尔，他的对手们怎么看。施瓦茨，魏尔斯特拉斯，还有其他一些人，都对这事不高兴，但他们也不加干涉。正如我们在后面要看到的，康托尔在和克罗内克的相处过程中，麻烦不断，差不多一生都摆脱不掉。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 康托尔和他的奇怪想法
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半个世纪前，我们可能会读到这两个人反目成仇的另一个有趣原因。埃里克·坦普尔·贝尔是20世纪早期的一位康托尔和克罗内克传记作者。他妙笔生花，想象丰富，是一位很有影响的数学史家。1937年，他这样写他们（康托尔和克罗内克）的争端：“一个犹太人和另一个犹太人，他们为了纯科学问题发生争议，或者仅仅是其中一位对另一位出于忌妒或担忧。学术上所生的怨恨，没有比他们这个时候所表现出来的更恶毒了。”(9)
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贝尔的这段陈述中有些内容有误。康托尔不是犹太人，尽管这是个犹太发音的名字，他也确实选了希伯来语第一个字母做他的符号。实际上，贝尔在这篇文章的其他地方写道：“他的家人是基督徒，父亲已皈依新教，母亲生来就是罗马天主教徒。”(10)
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因为血缘背景的原因，康托尔也许在某个地方有犹太人的因素。但他生在一个虔诚的基督教家庭，他后来也深深地被罗马天主教教义所吸引，并陷入其中。他甚至认为集合论是神揭示给他的。正如他在1896年所写的：“从我开始，真正的无穷理论将第一次提供给基督教哲学。”(11)
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康托尔和克罗内克另一个不同在于他们的文化背景。克罗内克的父亲是一位商人。康托尔的父亲也经商，但一家人深深沉浸在艺术之中。小时候，康托尔就在音乐和绘画上展现出了天才。不过，他直到10多岁才显露出对数学的能力和兴趣。虽然他的父亲希望他学工程，但他抵制了父亲的反对，坚持了自己的选择。
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康托尔1845年生于圣彼得堡，并在那里上了小学。但在格奥尔格11岁时，他父亲健康不佳，他们搬到德国，因为那里气候温暖。看起来，格奥尔格在德国从来没有真正感到过舒适，他常常深情地回忆着早年在俄国的生活。1863年18岁时，他进入柏林大学，开始跟随魏尔斯特拉斯、库默尔和克罗内克潜心学习。他还积极参与柏林数学学会的活动，在1864年到1865年，他担任了该学会的主席。
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1866年在哥廷根大学学了一学期之后，1867年他在柏林大学完成了博士论文。论文的名字是《关于不定二次方程》（On Indeterminate Second-Degree Equations）。为了准备口头答辩，他还钻研“在数学里，提出问题的艺术比解决问题更重要”的课题。卡尔·弗里德里希·高斯在1801年他的《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）中没有解决的一个数论问题，被他拿来作为例子。这是康托尔问问题方式特殊的一个早期迹象，后来这开创了全新的数学探究领域。
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1867年，在获得博士学位后，他在柏林的一个女子学校教了一段时间的书，不久，就成为哈勒大学（the University of Halle）的教师。他余下的职业生涯都是在那里度过的：开始是讲师（只有讲课费）；然后，在1872年成为一名助理教授；终于，在1879年成为一名正教授。这是一个让他犯难的境地。他感觉他是被放逐到一个根本就是二流的学校，对他整个的研究生命来说，与其他高水平同行的联系被切断了，很难从他们那里得到启发。在他研究生涯的后期，康托尔指责克罗内克通过这种方式排挤他。
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然而在他整个数学生涯中，他都尽力和那些高水平的同行保持联系，比如卡尔·魏尔斯特拉斯、赫尔曼·A·舒瓦茨、理查德·戴德金、哥斯塔·米塔格-列夫勒（Gosta Mittag-Leffler）和费里克斯·克莱因（Felix Klein）。康托尔总认为，在哈勒大学任教，就好比（美国数学家）在马萨诸塞大学阿默斯特校区（UMass Amherst）任教，哈佛或麻省理工才是理想之地。实际上，阿默斯特不是二流学校，在那里也不会切断与学术界其他同行的联系，当然它确实不是哈佛。换句话说，尽管康托尔对没在柏林大学或哥廷根大学任教心存怨恨，但事实上，哈勒大学也不像他认为的那样糟糕。最后，正如我们将要看到的，他情绪容易剧烈波动，这会增强他的不快。
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从积极的方面来看，无论如何康托尔取得了极大的成功。他开始撰写数学论文。起初是数论方面的，反映了高斯对他的影响和他对高斯的兴趣。有趣的是，也反映了克罗内克对他的影响和他对克罗内克的兴趣。接着，哈勒大学的一位前辈爱德华·海涅（Eduard Heine）认识到康托尔的过人之处。海涅曾经努力钻研过一个有趣的问题，并就此写过一篇论文。这个问题是这样的：如果某个方程能用三角级数表示，那么该级数是否唯一？在海涅的建议下，康托尔钻研了这个问题，并对这个级数的唯一性提出了重要的证明。
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这不是一个简单的问题，需要好几个步骤才能完成，每一步他都发表了一篇论文，展示他的唯一性定理使用的范围。他早期大部分的论文都发表在瑞典的《数学学报》（Acta Mathematica）上。这份受人尊敬的杂志是瑞典人哥斯塔·米塔格-列夫勒创办并编辑的。他是最早认识到康托尔天才的数学家之一。在写这些论文的早些时候，克罗内克给康托尔提过一个被证明是很有用的建议。很显然，在这个时候两人依然相处得很好。
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康托尔继续追究下去。他开始思考数（或点）集的问题，包括无理数，这跟三角表示不矛盾。在1872年的一篇论文中，他按照有理数的收敛序列详细说明了无理数。他正在进入一个让克罗内克感觉不舒服的领域。
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康托尔对三角级数唯一性的证明也牵涉到实线上点集的性质，于是他开始探寻点集的复杂性和它们与其他数集之间的关系，并将它们扩展开来(12)。
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