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因此，康托尔不是唯一一个和克罗内克闹翻的人。当我们了解一下克罗内克具有的因素——他在数字和无穷上的固执观念；他在学术和出版界的声誉和强大地位；他向人施加影响和权威的能力时，我们会明白为什么康托尔会成为他最大的靶子。这里还有另外一个争议：他这样对待康托尔，他的对手们怎么看。施瓦茨，魏尔斯特拉斯，还有其他一些人，都对这事不高兴，但他们也不加干涉。正如我们在后面要看到的，康托尔在和克罗内克的相处过程中，麻烦不断，差不多一生都摆脱不掉。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 康托尔和他的奇怪想法
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半个世纪前，我们可能会读到这两个人反目成仇的另一个有趣原因。埃里克·坦普尔·贝尔是20世纪早期的一位康托尔和克罗内克传记作者。他妙笔生花，想象丰富，是一位很有影响的数学史家。1937年，他这样写他们（康托尔和克罗内克）的争端：“一个犹太人和另一个犹太人，他们为了纯科学问题发生争议，或者仅仅是其中一位对另一位出于忌妒或担忧。学术上所生的怨恨，没有比他们这个时候所表现出来的更恶毒了。”(9)
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贝尔的这段陈述中有些内容有误。康托尔不是犹太人，尽管这是个犹太发音的名字，他也确实选了希伯来语第一个字母做他的符号。实际上，贝尔在这篇文章的其他地方写道：“他的家人是基督徒，父亲已皈依新教，母亲生来就是罗马天主教徒。”(10)
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因为血缘背景的原因，康托尔也许在某个地方有犹太人的因素。但他生在一个虔诚的基督教家庭，他后来也深深地被罗马天主教教义所吸引，并陷入其中。他甚至认为集合论是神揭示给他的。正如他在1896年所写的：“从我开始，真正的无穷理论将第一次提供给基督教哲学。”(11)
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康托尔和克罗内克另一个不同在于他们的文化背景。克罗内克的父亲是一位商人。康托尔的父亲也经商，但一家人深深沉浸在艺术之中。小时候，康托尔就在音乐和绘画上展现出了天才。不过，他直到10多岁才显露出对数学的能力和兴趣。虽然他的父亲希望他学工程，但他抵制了父亲的反对，坚持了自己的选择。
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康托尔1845年生于圣彼得堡，并在那里上了小学。但在格奥尔格11岁时，他父亲健康不佳，他们搬到德国，因为那里气候温暖。看起来，格奥尔格在德国从来没有真正感到过舒适，他常常深情地回忆着早年在俄国的生活。1863年18岁时，他进入柏林大学，开始跟随魏尔斯特拉斯、库默尔和克罗内克潜心学习。他还积极参与柏林数学学会的活动，在1864年到1865年，他担任了该学会的主席。
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1866年在哥廷根大学学了一学期之后，1867年他在柏林大学完成了博士论文。论文的名字是《关于不定二次方程》（On Indeterminate Second-Degree Equations）。为了准备口头答辩，他还钻研“在数学里，提出问题的艺术比解决问题更重要”的课题。卡尔·弗里德里希·高斯在1801年他的《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）中没有解决的一个数论问题，被他拿来作为例子。这是康托尔问问题方式特殊的一个早期迹象，后来这开创了全新的数学探究领域。
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1867年，在获得博士学位后，他在柏林的一个女子学校教了一段时间的书，不久，就成为哈勒大学（the University of Halle）的教师。他余下的职业生涯都是在那里度过的：开始是讲师（只有讲课费）；然后，在1872年成为一名助理教授；终于，在1879年成为一名正教授。这是一个让他犯难的境地。他感觉他是被放逐到一个根本就是二流的学校，对他整个的研究生命来说，与其他高水平同行的联系被切断了，很难从他们那里得到启发。在他研究生涯的后期，康托尔指责克罗内克通过这种方式排挤他。
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然而在他整个数学生涯中，他都尽力和那些高水平的同行保持联系，比如卡尔·魏尔斯特拉斯、赫尔曼·A·舒瓦茨、理查德·戴德金、哥斯塔·米塔格-列夫勒（Gosta Mittag-Leffler）和费里克斯·克莱因（Felix Klein）。康托尔总认为，在哈勒大学任教，就好比（美国数学家）在马萨诸塞大学阿默斯特校区（UMass Amherst）任教，哈佛或麻省理工才是理想之地。实际上，阿默斯特不是二流学校，在那里也不会切断与学术界其他同行的联系，当然它确实不是哈佛。换句话说，尽管康托尔对没在柏林大学或哥廷根大学任教心存怨恨，但事实上，哈勒大学也不像他认为的那样糟糕。最后，正如我们将要看到的，他情绪容易剧烈波动，这会增强他的不快。
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从积极的方面来看，无论如何康托尔取得了极大的成功。他开始撰写数学论文。起初是数论方面的，反映了高斯对他的影响和他对高斯的兴趣。有趣的是，也反映了克罗内克对他的影响和他对克罗内克的兴趣。接着，哈勒大学的一位前辈爱德华·海涅（Eduard Heine）认识到康托尔的过人之处。海涅曾经努力钻研过一个有趣的问题，并就此写过一篇论文。这个问题是这样的：如果某个方程能用三角级数表示，那么该级数是否唯一？在海涅的建议下，康托尔钻研了这个问题，并对这个级数的唯一性提出了重要的证明。
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这不是一个简单的问题，需要好几个步骤才能完成，每一步他都发表了一篇论文，展示他的唯一性定理使用的范围。他早期大部分的论文都发表在瑞典的《数学学报》（Acta Mathematica）上。这份受人尊敬的杂志是瑞典人哥斯塔·米塔格-列夫勒创办并编辑的。他是最早认识到康托尔天才的数学家之一。在写这些论文的早些时候，克罗内克给康托尔提过一个被证明是很有用的建议。很显然，在这个时候两人依然相处得很好。
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康托尔继续追究下去。他开始思考数（或点）集的问题，包括无理数，这跟三角表示不矛盾。在1872年的一篇论文中，他按照有理数的收敛序列详细说明了无理数。他正在进入一个让克罗内克感觉不舒服的领域。
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康托尔对三角级数唯一性的证明也牵涉到实线上点集的性质，于是他开始探寻点集的复杂性和它们与其他数集之间的关系，并将它们扩展开来(12)。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054507]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 无穷集合论
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自从古希腊以来，哲学家、神学家和数学家就已经开始努力摸索无穷这个观念和它的诸多寓意。例如，伽利略在他经典的《关于两门新科学的对话》（Dialogues Concerning Two New Sciences）中认为，很有必要指出平方数和自然数一样多，如他所说：因为“每一个平方数都有它的根，每一个根都有他的平方数，但没有哪一个平方数不止一个根，也没有哪个根不止一个平方数。”(13)
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换句话说，如果我们考虑到正整数这个类别或集合，我们得到一个很大、没有边界的数集——（就它本身来说）一个超越人们理解的数集。然而，知觉上它应该存在。那么，考虑到伽利略的说法，我们也得到一个平方数的集合，其中每一个数都是一个正整数的平方。伽利略说，有多少个自然数就有多少个平方数。但伽利略也知道有些整数不是平方数，比如2、3、5、7等等。平方数怎么就比自然数少了呢？伽利略把这仅仅看成是一个难解之谜、一个矛盾，就把它扔在一边，谈别的事去了。
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康托尔继续钻研这个问题。他从理查德·戴德金提出的一个观点出发，后者是他早期的崇拜者之一。1872年，戴德金定义：如果一个集合包含一个与它的元素一一对应的元素所组成的子集，那么这个集合是无穷的。例如，如果我们列出所有的自然数，即：1，2，3，…，n，… ，我们可以很容易把它们直接一一对应的平方数1，4，9，…，n2，…，得到的集合放进这个自然数集合里。康托尔从这里突飞猛进了。他说：这个全集（1，2，3，…，n，…）和子集（1，4，9，…，n2，…）都是“可数的无穷”，或者说是“可数的”。
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他说，这种“可数的无穷”集有相同的“势”。为了表示这个势的级别，他用了希伯来字母表的第一个字母阿列夫（aleph）和下标0，将这个术语读作阿列夫零（）。
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换句话说，自然数集N可以包含一个与它的元素一一对应（同势）的子集。因此整个集合与它的部分相等。当然，这与人们长期信奉的欧几里得的公理“整体大于部分”是直接相悖的。
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