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1867年，在获得博士学位后，他在柏林的一个女子学校教了一段时间的书，不久，就成为哈勒大学（the University of Halle）的教师。他余下的职业生涯都是在那里度过的：开始是讲师（只有讲课费）；然后，在1872年成为一名助理教授；终于，在1879年成为一名正教授。这是一个让他犯难的境地。他感觉他是被放逐到一个根本就是二流的学校，对他整个的研究生命来说，与其他高水平同行的联系被切断了，很难从他们那里得到启发。在他研究生涯的后期，康托尔指责克罗内克通过这种方式排挤他。
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然而在他整个数学生涯中，他都尽力和那些高水平的同行保持联系，比如卡尔·魏尔斯特拉斯、赫尔曼·A·舒瓦茨、理查德·戴德金、哥斯塔·米塔格-列夫勒（Gosta Mittag-Leffler）和费里克斯·克莱因（Felix Klein）。康托尔总认为，在哈勒大学任教，就好比（美国数学家）在马萨诸塞大学阿默斯特校区（UMass Amherst）任教，哈佛或麻省理工才是理想之地。实际上，阿默斯特不是二流学校，在那里也不会切断与学术界其他同行的联系，当然它确实不是哈佛。换句话说，尽管康托尔对没在柏林大学或哥廷根大学任教心存怨恨，但事实上，哈勒大学也不像他认为的那样糟糕。最后，正如我们将要看到的，他情绪容易剧烈波动，这会增强他的不快。
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从积极的方面来看，无论如何康托尔取得了极大的成功。他开始撰写数学论文。起初是数论方面的，反映了高斯对他的影响和他对高斯的兴趣。有趣的是，也反映了克罗内克对他的影响和他对克罗内克的兴趣。接着，哈勒大学的一位前辈爱德华·海涅（Eduard Heine）认识到康托尔的过人之处。海涅曾经努力钻研过一个有趣的问题，并就此写过一篇论文。这个问题是这样的：如果某个方程能用三角级数表示，那么该级数是否唯一？在海涅的建议下，康托尔钻研了这个问题，并对这个级数的唯一性提出了重要的证明。
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这不是一个简单的问题，需要好几个步骤才能完成，每一步他都发表了一篇论文，展示他的唯一性定理使用的范围。他早期大部分的论文都发表在瑞典的《数学学报》（Acta Mathematica）上。这份受人尊敬的杂志是瑞典人哥斯塔·米塔格-列夫勒创办并编辑的。他是最早认识到康托尔天才的数学家之一。在写这些论文的早些时候，克罗内克给康托尔提过一个被证明是很有用的建议。很显然，在这个时候两人依然相处得很好。
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康托尔继续追究下去。他开始思考数（或点）集的问题，包括无理数，这跟三角表示不矛盾。在1872年的一篇论文中，他按照有理数的收敛序列详细说明了无理数。他正在进入一个让克罗内克感觉不舒服的领域。
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康托尔对三角级数唯一性的证明也牵涉到实线上点集的性质，于是他开始探寻点集的复杂性和它们与其他数集之间的关系，并将它们扩展开来(12)。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054507]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 无穷集合论
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自从古希腊以来，哲学家、神学家和数学家就已经开始努力摸索无穷这个观念和它的诸多寓意。例如，伽利略在他经典的《关于两门新科学的对话》（Dialogues Concerning Two New Sciences）中认为，很有必要指出平方数和自然数一样多，如他所说：因为“每一个平方数都有它的根，每一个根都有他的平方数，但没有哪一个平方数不止一个根，也没有哪个根不止一个平方数。”(13)
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换句话说，如果我们考虑到正整数这个类别或集合，我们得到一个很大、没有边界的数集——（就它本身来说）一个超越人们理解的数集。然而，知觉上它应该存在。那么，考虑到伽利略的说法，我们也得到一个平方数的集合，其中每一个数都是一个正整数的平方。伽利略说，有多少个自然数就有多少个平方数。但伽利略也知道有些整数不是平方数，比如2、3、5、7等等。平方数怎么就比自然数少了呢？伽利略把这仅仅看成是一个难解之谜、一个矛盾，就把它扔在一边，谈别的事去了。
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康托尔继续钻研这个问题。他从理查德·戴德金提出的一个观点出发，后者是他早期的崇拜者之一。1872年，戴德金定义：如果一个集合包含一个与它的元素一一对应的元素所组成的子集，那么这个集合是无穷的。例如，如果我们列出所有的自然数，即：1，2，3，…，n，… ，我们可以很容易把它们直接一一对应的平方数1，4，9，…，n2，…，得到的集合放进这个自然数集合里。康托尔从这里突飞猛进了。他说：这个全集（1，2，3，…，n，…）和子集（1，4，9，…，n2，…）都是“可数的无穷”，或者说是“可数的”。
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他说，这种“可数的无穷”集有相同的“势”。为了表示这个势的级别，他用了希伯来字母表的第一个字母阿列夫（aleph）和下标0，将这个术语读作阿列夫零（）。
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换句话说，自然数集N可以包含一个与它的元素一一对应（同势）的子集。因此整个集合与它的部分相等。当然，这与人们长期信奉的欧几里得的公理“整体大于部分”是直接相悖的。
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现在康托尔脑子转得飞快，他开始创造出一种新的数学。例如，他向我们展示，如果我们把所有整数（阿列夫零）和所有整数的平方数（也是阿列夫零）加起来，结果仍然是阿列夫零！
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而且，同样有
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依此类推。对于一些人来说，也许这看起来仅仅是一个游戏。康托尔则认为这意味着需要一门新的数学，而这也是这门数学的开端。
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他选择阿列夫符号是既聪明又恰当的做法。他主要是这样认为的：古希腊和罗马字母已经在数学和科学中被广泛运用，而他的数学值得用一个独特的符号。但直到19世纪90年代，他认识到需要用一个标准化符号，才正式引入它。在这之前，他试着用了不同的符号。我们在这里用阿列夫简化了说明步骤。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 [:1701054508]
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数学恩仇录：数学家的十大论战 集合论诞生了
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