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(35) 同上。
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(36) 爱德华兹，1987年，第31页。
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(37) 爱德华兹，1987年，第34页。
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(38) 同上书，第33—34页。
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(39) 巴罗，1992年，第201页。
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(40) 克莱因，1972年，第1198页。
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(41) 爱德华兹，1987年，第34—35页。
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(42) 私人交流，2003年9月14日。
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(43) 柯林斯和内斯蒂沃，1983年，第218页。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 7 波莱尔vs策梅洛 声名远扬的公理
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1900年，第二次国际数学家大会在巴黎召开。著名的德国数学家戴维·希尔伯特在会上发表了一个演讲，列出当时数学中还未解决的重要问题。他一共提出了23个问题，在演讲中谈到了10个。在他的问题清单中，第一个问题就是还没有找到证据的康托尔的连续统假设。
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你会回想起上一章来。康托尔建立了一个超穷基数系统，在系统中，他置入了按顺序安排的阿列夫数（aleph 0，aleph 1，…）。他相信，在这个阿列夫数系统之外没有基数。但是，在康托尔能够证明每一个基数都能放进这个系统之前，他必须通过一一对应的方法，比较每一对可能的集合要素。而且，就像在直线上的每一点都对应着一个实数一样，无穷基数必须体现出相同的序原则。这样，对于任意两个实数，它们要么相等（a＝b），要么一个比另一个大（b＞a）或小（b＜a）。
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为了证明这个系统，康托尔不得不提出一条特别的性质，他称之为良序原则（well-ordering principle）。如果一个集合天然地具有一个最小的元素，那么可以定义它为良序的。这样，所有正整数的集合在它们的自然顺序下是良序的，因为它是从第一个或最小的元素，也就是1开始的。另一方面，所有整数的集合——包括负整数——不是良序的，因为我们将不得不首先做一个小的修正，设定一个第一个或最小的元素。因此，正整数集合和整数集合有相同的基数，但它们的序类型不同。
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康托尔认为他在从事一项重要的事业。在一篇长论文《集合论基础》（the Grundlagen，1883）中，他写道：“对整个点集理论来说，良序集合的观念被证明是必需的。通常，任意确定的集合都可以用良序集合的形式来表示。既然这种思考方法对我来说是基本的，能够借此得出很多成果，对集合论的普遍有效性尤其有用，在以后的论文中，我还会提到它。”(1)
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如果他能证明良序原理，那么他就能够说明每一个超限基数都等于他的一个阿列夫数。这是迈向证明连续统假设的重要一步。需要特别指出的是，至少在他头脑清晰的时候，他都在努力证明aleph 1（这是他定义的aleph 0之后的无穷的序数）等于c，即连续统或所有实数的势。他说，这将会表明没有中间形式的无穷。也就是说，没有这样一种由元素组成的集合，它的势大于所有自然数集合的势（aleph 0），而小于所有实数组成的集合的势（c）。
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他无能为力，一直都没有找到证明。
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但他的集合论在正反两个方面震动了数学界。同时，康托尔在哈勒大学神经诊所呆的时间更长了。后来在1903年，他恢复了数学研究工作，并在德国数学学会的一次会议上作了演讲，回答了法国数学家在早些时候提出的一些问题。一年后，他获得了授予数学家的最高荣誉之一——这是英国皇家学会所能授予的最高荣誉，即西尔维斯特奖章。
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但是就在这一年，康托尔发现他的理论正面临着一个非常严峻的挑战。在海德堡举办的第三届国际数学家大会（1904年）上，一位来自布达佩斯的著名数学家朱尔斯·柯尼希（Jules Konig）宣读了一篇论文，宣称康托尔连续统的势不是任何阿列夫数，更不用说是aleph 1。
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现在一篇纯数学上的报告，即使是在一个很重要的数学家大会上的报告，都不会在公共媒体上报道。但在当时，柯尼希的报告成了头版新闻。我们只能猜想康托尔的反应。我们了解到，他拒绝接受这个证明，但是又不能在柯尼希的推理中找出任何错误或疏漏。况且柯尼希在同行间享有极好的声誉。
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然而过了不到一天，来自哥廷根大学的一位年轻数学家恩斯特·策梅洛跳出来拯救了康托尔。策梅洛指出柯尼希的一个前提是错的，因此它的证明是靠不住的。但是康托尔清楚，他只能暂时缓一口气。在他或者其他人能够证明连续统假设，即证明连续统确实是一个阿列夫数之前，他全部的工作差不多仍然只是一种理论构想。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 策梅洛
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