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(17) 同上。
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(18) 同上书，第167页。
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(19) 罗素，怀特海文集，1997年，第viii页。
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(20) 道本，1990年，第267页。
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(21) 克莱因，1980年，第211—212页。
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(22) 道本，1990年，第268页。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 8 庞加莱vs罗素 数学的逻辑基础
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1901年的春天，数学家们都面临着罗素悖论（我们在第6章中讨论过）的挑战，很多人都能感觉到他们所钻研的这个学科的基础正在他们脚下动摇。后来，罗素写道：
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对于这种处境，哲学家和数学家们有很多不同的反应。不喜欢数理逻辑并指责它空洞无物的庞加莱高兴地宣称：“它不再（仅仅）是空洞无物，它还引起矛盾。”这话很对，但它对解决问题毫无助益。其他一些不赞成格奥尔格·康托尔的数学家采取了马奇·赫尔（March Hare）的办法：“我对这厌烦了，让我们换个话题。”这对我来说似乎还不够。然而过了一段时间，理解数理逻辑和认识到迫切需要逻辑方法的人开始认真地去尝试解决问题。第一个这样做的人是F·P·拉姆塞（F. P. Ramsey ），很不幸的是，他早逝了，留下了很多未竟的工作。但在《数学原理》（三卷，1910—1913，罗素和A. N.怀特海著）出版前的这段时间，我的解决方法并没有胜过这些后来的尝试，基本上只是在摸索。(1)
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下面是罗素自己对于他的悖论灵感怎样产生的解释。记住，这是罗素在说话，所以如果你在初读和再次审读后都不懂他的逻辑，请不要过多担心，他是怎样被引向了这个矛盾的，他就此写道：
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通过思考康托尔对不存在最大基数的证明，据我粗浅的想法，世界上所有事物的数目应该可能存在最大的数。于是，我把他的证明用到这个数上，看会发生什么。这个过程使我考虑到一个非常特殊的类(2)。沿着这条迄今看起来很恰当的方法思考下去，对我来说，似乎一个类有时候是，有时候又不是它自身的一个元素。例如，茶匙的类不是另一个茶匙，而是不是茶匙的东西的类。（换句话说，所有茶匙的集合不是一个茶匙；所以它不是它本身的一个元素。）看起来有很多支持这种说法的例子，例如所有类的类是一个类。应用康托尔的主张使我考虑不是类本身的元素所组成的类，看起来这些元素应该能组成一个类。我问自己：这个类是否是它自身的一个元素(3)。
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这样，著名的罗素悖论诞生了。看起来，谁的基础它都撼动不了。但它就是有这个能力，它不仅会对数学领域产生深远的后果（详见第6章和第7章），而且它还引起了一场认识上的混乱，时间长达10来年。罗素为此付出了卓绝的努力。尽管为数不多的几个同事在早期给了他支持，但他很大一部分精力都花在应付众多同行的批评上了。
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你也许从第一段了解到，罗素喜欢数理逻辑。实际上，他通常被认为是逻辑主义运动的奠基者，这项运动现在还有很多拥护者，但也引起了很多异议。正如罗素所说，逻辑主义者想说明“所有的纯粹数学都是从纯粹的逻辑前提得出来的，并只运用可以用逻辑术语定义的概念。”(4)
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有时候，人们认为逻辑主义在做两方面的努力。首先，它宣称所有的数学都可以用逻辑术语来诠释。这样，数学术语和符号就组成了一个逻辑术语和符号的有效子集。其次，它宣称所有的数学证明都可以用逻辑证明来重新表达。这样，数学定理也可以组成逻辑定理的合理子集。
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通过强调纯粹数学是由逻辑的步骤组成的，罗素说：“纯粹数学完全是由断言组成的，大意是如果某某命题在某种情况下为真（例如，如果p，那么q），那么另一个某某命题在那种情况下也为真。重要的是，不要去讨论第一个命题是否真的正确，也不用说我们是否只是设想在某种情况下为真……这样，数学可以定义为一门这样的学科：在其中，我们从来都不知道，我们在谈论什么或我们说的是否是真的。”(5)
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不难相信，这招致了批评。罗素在后来写道：“在一开始，这个论题是不受欢迎的，因为在传统上，逻辑是与哲学和亚里士多德联系在一起的，所以数学家们认为这跟他们不相干，那些认为自己是逻辑学家的人也极不愿意被要求掌握一门新的有相当难度的数学技术。”(6)在始终如一地对他进行批评的人中，有一位就是德高望重的法国数学家朱尔斯·亨利·庞加莱。考虑到克罗内克于1891年死后，庞加莱已成为康托尔超限数学的主要反对者，而罗素的逻辑大厦主要就建立在康托尔集合论的基础上，庞加莱对罗素的态度就不会太让人奇怪。
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罗素和庞加莱之间的一系列争论和反击，从1906年初一直持续到1910年罗素做出的最后答复。在这段时间，罗素正值30多岁，而庞加莱50多岁了。在那时，两个人在他们各自的领域都受到了所有人的高度尊敬，因此，他们都很尊重对方。法国天文学家查尔斯·诺德曼（Charles Nordmann）在他对庞加莱的颂词里写道：“生活在上世纪的十几位伟大科学家中间，他创造了这样一个奇迹：在科学界，从来没有一个对他有敌意的人。”(7)但在知识上的互相批评中，庞加莱和罗素彼此毫不留情。
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在讲述这场战斗之前，让我们简单地回顾一下罗素和他的数理逻辑。
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伯特兰·阿瑟·威廉·罗素，1872年5月18日生于威尔士的特雷克（Trelleck）。两岁时，他失去了母亲；4岁时，他失去了父亲；6岁时，他失去了祖夫。他主要由祖母带大。在18岁以前，他一直在家接受家庭教师的教育。
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尽管他因为祖母的好品行（包括她对他的爱和某些积极进取的社交爱好）而热爱并尊敬她，但在成年后，他开始感到很压抑。如他所说：“在我到14岁后，我祖母的知识局限让我很难受，她的清教徒道德规范也开始显得有些过分。”(8)事实上，终其一生，罗素经常发现自己陷入理智与情感的冲突之中。
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