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（庞加莱）非常讨厌严重依赖符号逻辑的方法，在他的《科学与方法》（Science and Method）中，他甚至对这种行为作了讽刺。（塞萨尔）布拉利-福蒂（（Cesare）Burali-Forti）在1897年的一篇文章中针对整数运用了一个这样的方法，人们会发现文中用了令人晕眩的符号来定义1这个数，谈到这时，庞加莱评论说，对于以前从来没有听说过1这个数的人来说，这是一个极好的定义，很合适让人们了解它。(31)
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在另一篇庞加莱的早期文章中，他发表了一个更偏激的声明，他写道：
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逻辑有时候制造怪物。半个世纪（以来），我们已经看到，一些怪异的方程出现了，它们看起来竭力要跟有些实际用途的方程尽可能地不像……以前，发明一个新的方程是为了一些实际的目的；现在，它们发明出来，就是为了给我们前辈的推导找茬，除此之外，我们永远也不会从中得到什么。(32)
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因此，看到庞加莱成为倚重集合论的逻辑主义的主要反对者，我们就不会奇怪了。有一段时间在法国，罗素的逻辑主义主要反对者是法国数学家路易斯·库蒂拉特（Louis Couturat），他在1904年和1906年发表了一些文章。庞加莱正找不到地方发泄他的情感，而这时罗素的文章发表在1906年的《伦敦数学学会会报》（Proceeding of the London）上，庞加莱决定：该作出行动了。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 回 应
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正是在这个时候，庞加莱决定对罗素的逻辑主义发起一个全面的批判。法国期刊《形而上学与伦理学杂志》（Revue de Metaphysique et de Morale）于1893年开始出版，它的目标是使哲学和各种科学（道德的，自然的）能相互理解。庞加莱已成为主要的投稿者之一。因此，他选择在这里发起他的批判。在罗素的论文发表仅仅两个月后的1906年5月，庞加莱以《数学与逻辑》（Les mathematiques et la logique）为题刊发了他的反对文章。而这篇文章只是“跳板”。
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庞加莱从回溯康托尔开始他的批判。在简短地介绍了康托尔的集合论后，庞加莱写道：
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很多数学家跟随（康托尔的）指引……在他们的眼中，为了用真正逻辑的方法教算术，我们应该从确定超穷基数的一般性质入手，然后从它们中间区分出一个非常小的类，即普通整数的类。由于这条便道，我们会在证明所有与这个小类相关的命题（也就是说，我们所有的算术和代数）上取得成功，而无需运用任何与逻辑不相关的原理。
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然而庞加莱主张：
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这种方法显然与任何健全的心理相悖；当然，人的智力也不是用这种方法在构建数学中取得进展的。因此我想，它的作者该不会梦想到在中学教学中引入这种方法吧。它符合逻辑吗？或者这样说更好，它是对的吗？这让我疑惑……
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他接着说：
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不幸的是，他们得出了称之为康托尔悖论（Cantorian antinomies，就是指那些悖论）的矛盾结果……这些矛盾没有让他们沮丧，他们努力去修正他们的规则，以便让那些已经不言自明的矛盾消失。尽管如此，他们还是不能确定，新出现的矛盾是否也是不言自明的。
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该是对这些不实学问进行审判的时候了。我不奢望让他们明白，因为他们已经在这种氛围中呆得太久。另外，当他们的一个例证被驳倒后，我们肯定会看到它以一种无意义的变化形式复活了，它们中的一些已经从它们的骨灰中复活过好多次了。
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然后，他说：
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这样，可以被理解为，说明一个定理，知道它是什么意思既没有必要，也没有什么优势可言。几何学家也许会被“逻辑钢琴”（logic piano）所替代……或者如果你愿意，可以想象一台机器，一端输入假定，另一端就会输出定理，就像传说中的芝加哥机器一样，扔进活猪，出来的都变成火腿和香肠。除了这些机器，对于他们所要做的，数学家们不需要知道更多。
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因此，从假定推导到定理的逻辑正确性不应该是唯一让我们投入的事。完美逻辑的规则是数学的全部吗？这就好比说，下棋的全部美妙之处就在于移动棋子的规则。在所有能由逻辑提供的材料建立的构造中，我们必须做出选择。真正的几何学家会明智地作出这种选择，因为有可靠的直觉或模糊的意识在指引着他。我知道，这种模糊的意识不会是更深奥和更隐秘的几何，只凭它就可以赋予这栋在建造的大厦以价值(33)。
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这里是庞加莱对于罗素尝试解决“悖论”的几个评论：
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依据曲折论，当“定义（命题函数）很简单时，它们决定一个类；当它们复杂和含混时，它们不能决定一个类。”现在，谁来决定一个定义是否可以被认为简单到能被接受？如果不对完全无能为力做一个忠实的坦白的话，这个问题就没有答案。（讽刺性地引用罗素的话）“那些让我们认识到这些定义是否正确的规则将会极其复杂，不能用任何合理的原因来解释它们。”……除了排除悖论以外，我还没能找到任何其他的指导性原则。
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庞加莱这样结束这一个观点：
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因此，这个理论仍然很含混；于是，黑暗中出现了一线曙光——“曲折”。罗素称之为“曲折”的这个词毫无疑问就是使艾皮米尼地斯狡辩（the argument of Epimenides）显得与众不同的独特之处。
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庞加莱指的是艾皮米尼地斯的话“我在说谎”。这句话引出了一个悖论。如果他在撒谎，那么他在说真话；如果他在说真话，那么他在撒谎。
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关于限量论，庞加莱争辩说：“如果一个类范围太广，它将没有理由存在下去。也许它可以是无限的，但它不应该大得过分了。但我们经常反复遇到同样的难题：在哪一个点上，它才开始变得过大？当然了，这个难题还没有解决，但罗素就接着去讨论第三个理论了。”(34)
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接着，庞加莱矛头转向罗素的非类论。不过首先提醒大家注意，这是罗素在《会报》上发表的论文的结尾部分，罗素已经加了一个附录：“通过进一步的研究，我现在感觉到，对于这篇论文第一部分中叙述到的所有难题，非类论都能提供一个完整的解决办法，这几乎是没有什么疑问的。”(35)
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