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但是正如罗素所说，一般而言，值得怀疑的原因“有两个相反的方面：首先，在数理逻辑中有某些没有解决的难题，这使它看起来没有人们心目中的数学那样确定；其次，如果数学的逻辑基础是能够接受的，那么它能证明（或有助于证明）很多东西，比如格奥尔格的理论——由于一些没有解决的悖论（逻辑中也有这些悖论），很多数学家都对它表示怀疑。这两种相反的批评有两类代表：希尔伯特领导的形式主义和（鲁伊兹）布劳威尔领导的直觉主义”(55)。
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在下一章中，我们将讨论这两个数学思想的学派，它们与逻辑主义的联系以及在20世纪早期困扰数学的信心危机中所扮演的角色。
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现在，围绕罗素逻辑主义的争议可能和以前一样多。例如，圣母大学（the University of Notre Dame）的迈克尔·迪特弗森（Michael Detlefsen）说：“对于庞加莱的康德哲学观点，罗素所谓的驳斥是不对的。”他主张：“最后我们发现，逻辑学家所声称的数学推理能够‘逻辑化’以及可以严格地完善都是站不住脚的。”(56)一些研究者认为，逻辑主义依然太让人困惑，也太虚弱，以致不堪大用(57)。但有其他人相信，经过适当的改进，它仍然将是一个有用的方法(58)。
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但是通过这种或那种方式，从罗素的那个时代直到现在，罗素的逻辑主义带动了如此众多领域的发展，如哲学、数学、语言学、经济学；特别是今天日新月异发展的计算机科学，更要归功于它(59)。
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(1) 罗素，1959年，第76—77页。
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(2) 罗素的术语“类”和现在用的“集合”具有同样的意思。
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(3) 罗素，1959年，第75—76页。
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(4) 罗素，1959年，第74页。
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(5) 罗素，《神秘主义与逻辑》，1918年（？），第70 —71页。
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(6) 罗素，1938年，第v页。
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(7) 诺德曼，琼斯文集，1966年，第619页。
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(8) 罗素，1967年，第17—18页。
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(9) 在等腰三角形中，两个底角相等。如果将两腰延长相同长度，所产生的两底角也相等。
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(10) 罗素，1967年，第37—38页。
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(11) 莫哈德（Moorhead），1992年，第42页。
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(12) 罗素，1967年，第87页。
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(13) 同上书，第90页。
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(14) 《一个集合常用理论的基础》（Grundlagen Einer Allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre），1883年。
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(15) 这本书的英文名是《Concept Notation》。概略来说，它是弗雷格在逻辑方面出版的第一本书（1879年）。
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(16) 罗素，1967年，第91页。
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(17) 罗素，1967年，第187页。
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(18) 克莱因，1972年，第1192页。
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(19) 罗素，1938年，第xvi页。
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(20) 奥康纳和罗伯特森，2002年，在线查得。
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(21) 参见：如基切尔（Kitcher）和阿斯普雷（Aspray），“一个武断的介绍”，阿斯普雷和基切尔文集，第14—16页。
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