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(47) 罗素，1910年，《罗素文集》，1973年，第215页。
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(48) 同上书，第244—250页。
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(49) 同上书，第252页。
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(50) 罗素，1938年，第v页。
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(51) 同上书，第xii页。
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(52) 同上书，第xii—xiii页。
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(53) 罗素，1938年，第xiv页。
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(54) 克莱因，1980年，第311页。
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(55) 罗素，1938年，第v页。
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(56) 迪特弗森，1993年，第49页和28页。
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(57) 参见：如范·埃夫拉（Van Evra），2003年，第387页。
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(58) 参见：如兰贝克（Lambek），1994年；林德斯基（Linsky）和萨尔塔（Zalta），2004年。
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(59) 参见：如兰贝克，1994年，第59页；布罗德本特（Broadbent），第15页；西蒙尼斯（Simonis），1999年，第172—173页；克莱因，1972年，第1197页。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 9 希尔伯特vs布劳威尔 形式主义与直觉主义
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在上一章，您读到了矛盾、悖论以及动摇数学根基的危机。危机这个词，我们不能把它解释得太宽泛。数学的方法论从来都不是问题。在这些年里——就是说20世纪的早期，研究和应用它的人一直都把数学技术运用得非常好。在自然科学（在相对论和量子理论方面，科学取得了显赫的进步）、人文科学以及其他领域中，这种看法尤其正确。
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一旦确定了这种认识，所要做的就是不要加上一些太苛刻的限制，即使在集合论中发现的悖论所造成的困难也已大半克服了。
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换句话说，这些困难和更激烈的争论跟数学技巧没有关系。恰当地说，它们跟数学的基础有关，也跟数学知识的范围所涉及的问题有关。某些数学上的发展无疑给了它们动摇数学根基的动力。这些发展，我们在前几章讨论过。
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有一段时间，伯特兰·罗素的逻辑主义（详见第8章）似乎能解答一些使研究者们苦恼的问题——确实它甚至能为稳固数学基础提供必要的根基。然而随着鸿篇巨制的《数学原理》第三卷在1913年出版，这项运动（逻辑主义）开始衰落。这套书备受推崇，但读的人很少。通过各种方法，罗素的逻辑主义避开了各种悖论，但他还是没能说明他的体系能够不产生矛盾。
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计划好的第四卷——特别集中处理几何的基础问题，主要由A·N·怀特海撰写——因为第一次世界大战的爆发中断了。罗素把他的注意力转到和平事业，并跟英国政府产生了矛盾。1918年，他因诋毁美国军队，被判处6个月监禁。在狱中，他写了《数理哲学导论》（Introduction to Mathematical Philosophy）（1919）。这本书是《数学原理》的一个介绍，也就是说，这是一个尝试，用以使他的逻辑观念更容易为专家所接受，也使之更容易为“那些有必要了解这门重要现代科学方向的更广大圈子”所接受。(1)然而，更倾心于哲学的怀特海，在1924年离开英国去美国教书了。
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与此同时，经过很长时间，数学界领会了戴维·希尔伯特的代表作《几何基础》。这本书出版于1898年至1899年，出版后被翻译成各主要欧洲国家的语言，事后证明它极具影响。
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在20世纪的早期，希尔伯特已经声名卓著，在不变量理论和变分法方面，他做出了开创性的工作，还出版了一本极其重要且富有影响的几何学著作。他被选为很多国家的科学院的院士，并荣获德国政府的枢密院顾问头衔，这相当于英国的爵士。
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