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布劳威尔认为排中律是用得过于自由的逻辑原理的典型。这个原理宣称每一个有意义的表述要么对，要么错，它是所谓间接证明方法的基础，这种方法允许用常规逻辑或利用矛盾的反证法。在这里，如果某命题不正确，我们可以通过实证产生一个逻辑矛盾来证明某些命题正确。布劳威尔拒绝接受排中律，坚持认为第三种情况是存在的。他使用“未决的”（undecided）这个词来称呼那些通过有限的推导步骤还不能决定是对还是错的表述。他经常置疑建立在排中律基础上的数学证明，称它们是“所谓的证明”(17)。
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1920年，他声称：“将排中律用作数学证明的一部分，是不允许的……（它）只具有学理和启发的价值，因此那些在证明中不能避免使用这个原理的定理是缺乏数学内涵的。”
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希尔伯特回应道：“把排中律排除在数学之外就像……禁止拳手使用拳头一样。”(18)这个要求确实是个极端的限制，很多数学家和科学家都难以接受，特别是那些经常用到它的人。
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第二年，布劳威尔开始宣传他的观点，这开始成为他余生的事业。尽管在1909年和1913年，布劳威尔在拓扑学领域里取得了优异的成果，但他从来没有发表拓扑学方面的演讲。上过他课的巴特尔·L·范德瓦尔登（Bartel L. van der Waerden）回忆说，他从来不看学生，不问问题，总是在直觉的基础上讲课。
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在后来的采访中，范德瓦尔登说：“看起来，他不再确信他在拓扑学中的成果，因为从直觉主义的观点来说，它们不是正确的。他以前所做的工作、他最伟大的成就和他的错误，他都按照他的哲学来作评判。他是一个很奇怪的人，疯狂地爱着他的哲学。”(19)
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当然，布劳威尔看待事物有点不同。在他1919年的论文《直觉主义的集合论》（Intuitionistic Set Theory ）中，布劳威尔指出他早期的拓扑学研究从直觉主义观点来看是不正确的。他接着说，这些工作中的大部分都可以用直觉主义框架来补救。他举了一些例子（例如不动点定理），说明这些成果的直觉主义形式如何得到证明(20)。
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1917年至1920年，布劳威尔开始进一步发展他的直觉主义观点，包括沿着直觉主义思路发展集合论。大约1920年后，他认为是向外界发布这些成果的时候了。这显然是对希尔伯特工作的挑战。更糟糕的是，发表过一篇不寻常的分析基础方面名为《连续统》（The Continuum）的论文的外尔，这时转变了立场。1921年，外尔甚至又发表一篇新文章解释他的新立场，说在某种程度上，希尔伯特的方法将所有的东西都简化成了一种游戏。外尔曾经是希尔伯特的优秀学生，希尔伯特曾指望他成为一个忠实的追随者。1920年春天，在外尔写的一份稿件上，布劳威尔写了一些评论表达了他的想法，并把它送给外尔。布劳威尔以这样的话开头：“你毫无保留的支持给了我无穷的快乐……在一些小地方，我们有不同意见，这只会给我们更多激励。”(21)
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对于这种变故，希尔伯特看得很重。有趣的是，大约1925年后，外尔试着在这两个争论者之间采取中立立场，但那时希尔伯特已经对他有成见了。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 反 击
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当1922年希尔伯特开始反击时，他写了一篇针对外尔和布劳威尔两人的文章。他首先陈述了他对数学基础比当前所取得的成就更需要深入研究的信念。接着，他写道：“杰出的、成就卓著的数学家外尔和布劳威尔正在通过肯定是错误的途径来寻找这些问题的解决方法。”(22)然后他解释了这样说的原因，并接着陈述他自己的观点。
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他谨慎地指出，他针对连续统基础的方法“并不与直觉相悖。我们从直觉中得出的外延量概念不依赖于数的概念，因此如果我们在数与质量数或数量之间做一个基本的区分，它就会与直觉完全一致。”他接着写道，其他人都曾经仔细研究过这个问题，“如果外尔在这里看到了一个‘基础的内部不稳定，而整个（数学）帝国都建立在这个基础上。’如果他担心‘分析体系的瓦解即将到来’，那么他是见着鬼了。”
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希尔伯特接着说：
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当然，证明公理一致性的问题出现了。这是一个很出名的问题，几十年来我一直关注它。这个报告就是关于这个问题的解决方法的。
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外尔和布劳威尔所做的基本上是沿着以前克罗内克所走的老路。抛弃所有令他们不快的现象，并按照克罗内克的方式建立专政来加以禁止，他们寻求通过这种方式来为数学树立基础。但这意味着肢解并毁坏我们的科学，如果我们追随这些改革者，我们将冒失去很大一批最宝贵财富的危险……我相信，就像克罗内克在当年不能消除无理数一样……今天，外尔和布劳威尔也将行不通他们的计划。不，布劳威尔不是外尔所相信的那样是一个革命者，而是一个重复者，他用着旧工具，尝试在当时用横冲直撞的方法发动一场政变，但还是彻底失败了。现在弗雷格、戴德金和康托尔加入了进来，这个阵营有了更多的武装，力量更强了，这种政变注定要失败。
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在一些介绍性的内容之后，他说：“对公理一致性的表述，几乎没有这么认真的，无论是在数论、分析还是在集合论中。”(23)
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在文中，为了回应外尔和布劳威尔的抨击，他提出了经过修订的大胆的新计划，这个计划为形式主义的学派树立了一个更新更牢固的基础。他继续在文中提出了对分析公理一致性的证明的大概想法，把数论建立在数“1”和符号“＋”的基础上。“当我们用这种方法发展数论时，不需要公理，也不可能有任何矛盾产生。”(24)文中剩下的部分他谈论了别的话题。然而范·达伦说：“希尔伯特从来没有成功地证明过他的论据。这有点像自行车内胎上的一个凸起（原文如此），每次他按下这个凸起，别的地方又冒出另一个。直接地说，这个问题极端的复杂。多年以后，在1936年，杰出的德国数学家格哈德·根岑（Gerhard Gentzen，1909—1945）最终成功地找到了关于超限过程完整而正确的分析方法。”(25)利用根岑的新方法，人们认识到希尔伯特的证明理论是一个极好而又有力的数学工具，对计算机科学尤其有帮助(26)。
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外尔的事迹有一个有趣的后记。同样在1922年的那篇文章中，希尔伯特把布劳威尔和外尔当作一个团伙来抨击，无视他们两人之间观点的显然不同，例如他们对直觉主义的诠释。接着，如我在前面所提到的，大约1925年的时候，外尔开始稍微远离布劳威尔的直觉主义。从那时起，希尔伯特将他的抨击主要集中在布劳威尔的身上，但同时也无视外尔的转变。比如即使迟至1928年，希尔伯特还提起“他的学派将一切都简化为一个游戏”这个批评，并做出回应。但是你会回想起，这是外尔的批评，而不是布劳威尔的。
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这次两人都认识到他们的争端存在于两个水平面上，理解这一点很重要。当然这里也有个人竞争，但两人也都在一个更广的意义上把自己看作救世主。也就是说，两人都认为数学处于一场根本的危机中，他们每个人都认为自己是那个能把数学从衰落和颓败中拯救出来的人。另外，至少希尔伯特的担心更甚。他认为：“如果数学失败了，人类的精神也会失败。”(27)
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1928年，在他对希尔伯特新方法的一个回应中，布劳威尔写道：“所有这些表明，形式主义从直觉主义那里没有直接接受任何东西，但却从中受启发多，而且它还有望受益更多。”因此形式主义学派应该给直觉主义一些赞誉，而不是用轻蔑的语气攻击它，甚至提都不提作者的名字。并且，形式主义应该考虑这样一个事实：迄今为止，在形式主义的框架内，正确的数学知识没有哪一样得到了保护（既然公理系统的一致性的证明都还是缺失的）。
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“在另一方面，直觉主义……已经建立了有着不可置疑确定性的数学新基础。”(28)对布劳威尔来说，任何语言，包括形式主义者的，都是有用的，但仅限于交流。布劳威尔的一个博士生阿伦德·海廷（Arend Heyting）在1930年恰当地写道：“建立一套与直觉主义的数学等同的规则系统在理论上是不可能的，因为思考的可能性不能简化为有限几步预先建立的规则。”(29)
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回顾一下，我们可以看到，希尔伯特和布劳威尔在谈论着颇有分歧的观点。他们的分歧中至少有一点卷入了国家感情的冲突——奇怪的是，作为非德藉数学家，在一本黎曼的纪念册上，他强烈反对收入一些法国数学家的名字，这让希尔伯特很恼火。最后，他们的争论牵涉到了更多的个人偏见——双方都这样。
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