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(43) 直觉主义有时被称为建构主义。例如，直觉主义者不接受超越第二个数类的超穷基数。这就是说，我们应该多少能够像计算普通整数那样计算序数。直觉主义者也不接受康托尔更高的基数，因为对直觉主义者关于精神创造的认识来说，这些概念不能建设性地达到其目的。这与康托尔派的实践形成了鲜明对比，在他们的观念中，所有能一致阐述的东西都是存在的。
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(44) 斯莱帕，斯维茨（Swetz）文集，1994年，第207页。
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(45) 同上。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 10 绝对主义者/柏拉图主义者vs易误论者/建构主义者 数学进步是发现还是发明？
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在一个充满了怀疑和不确定的世界里，很长时间以来，数学被看成是确定性最后的堡垒。在不同时期被称为绝对主义或柏拉图主义的拥护者们的看法反映了这个观点，他们把数学看作是客观和精确的。他们运用数学非凡的能力来描述自然和技术中的运动和形态，并主张真正的数学知识是完美和永恒的。
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持相反意见的数学家也有很多，其中最常见的是易误论者（fallibilist，暗示数学的不可靠性）。他们把数学看成是一个在不断进步的活动。有人甚至主张，某些数学进展被接受是建立在数学家们的权威基础上，而不是建立在理性的证明基础上。
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另一群被归入这一类的数学家是建构主义者。他们的观点可以追溯到康德（Kant）和克罗内克（详见第6章）。建构主义者的目标是重构数学知识，使它不至于退化和引起矛盾。因此建构主义者拒绝接受康托尔关于实数是不可数的证明，他们也拒绝接受排中律。直觉主义者L·E·J·布劳威尔（详见第9章）也属于这一类。换言之，经典数学的某些部分是不可靠的，应该通过“建构性的”思想和方法来“重构”它们。
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有趣的是，科学已经经历了类似的演变。随着相对论和量子力学的出现，绝对主义者对于科学的观点已经很大程度让位于易误论者的思想。然而对于数学，绝对主义/柏拉图主义稳固的核心仍未被触及——实际上，它们甚至可能是主导性的模式——尽管它一直经受来自各方的不断攻击。
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在线杂志《数学教育哲学》（Philosophy of Mathematics Education）的编辑保罗·恩斯特（Paul Ernest）说：“在过去的几十年间，新一波‘易误论者’的数学哲学发展壮大起来，这些哲学提出了一种不同的、跟人们以往印象不同的数学形象，认为数学是人性的、可改正的、历史的和不断变化的。易误论把数学看作是社会运行的结果。数学知识永远处在修改之中，不仅是它的论据，还有它的观念，这都是可以理解的。因此，这个观点包含数学家的实践、数学的历史及应用、数学在人类文明中的地位——这些都在合理的哲学思考之中，也是数学评论和教育的结果。”(1)
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从哲学的角度思考数学不是新事物。对数学哲学有强烈兴趣的著名法国数学家雷恩·托姆（Rene Thorm）在1990年写道：“数学哲学处在可以称之为‘库恩式革命’(2)（Kuhnian revolution）的变革的漩涡之中。”在这里，‘库恩式’这个词有几种寓意。
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● 它意味着数学方式的一个极具意义的转变。例如在20世纪60年代，集合论的符号和公理体系已经融入了中学的数学课程中。对于一个初学者来说，这意味着什么？
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● 它意味着革命是一种进步，而不仅仅是一种变化。正如我们将要看到的，对于这种说法，有一些问题，但托姆认为‘库恩式’仍然是合适的。
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● 另外，这种变化发生在一个重要的有趣的领域。这当然是对的。
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托姆认为，绝对主义在数学中的退却有两个重要原因。他写道：“一个原因是，数学的基础并不像想象的那样可靠。哥德尔的第一不完备性定理已经表明，公理体系确实不能获得最有趣味的数学体系的真理。”（详见第7章）
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“另一个原因是，传统数学哲学关注面窄，仅限于纯粹数学知识和数学对象存在的基础，对此，在数学家、哲学家和教育家中间有越来越多的不满。”(3) 换句话说，在数学界中，有越来越多的人认为，数学的所有分支——研究、哲学、历史、教育和学习——都是有联系的，在这所有的领域，绝对主义者的思想是贫瘠和狭窄的。
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于是，我们看到了这样的场景（这正如我们将要看到的）：不同等级的数学家、哲学家和教育家汇集成一股强大的改革力量，他们视数学为易错的、可变的，需要改正、修订和论战；跟他们相对的，是一股同样强大的、组成复杂的力量，他们仍然坚持原先的观点，认为数学是确定性的最后堡垒。
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然而，这两种思考方式与另外一种激烈碰撞的思想分化紧紧结合在一起：数学是发现的，还是发明的？毕竟，如果数学知识是完美的、永恒的，那么无论数学家提出何种新观点，它们都只是发现。但是，如果数学是易错的，是一种不断进步的活动，那么新数学观点应该是发明的。
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或许，正如莫里斯·克莱因针对基础问题所说的：“那么，数学究竟是藏在宇宙深处并逐渐被挖掘出来的一堆钻石，还是这样一堆人类制造的合成石头——尽管是人造的，但依然如此耀眼，以至于晃晕了数学家们的眼睛，而这些数学家已经被他们自己的创造所带来的骄傲弄得有些忘乎所以了。”(4)
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这就是我们基本的问题。让我们先来讨论它，然后看看会把我们带向何方。
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数学恩仇录：数学家的十大论战 等待发现的一堆钻石
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认为数学是一堆等待发现的钻石的人的名单既长又让人印象深刻。你会回想起，康托尔相信“他只是一个报告者，集合论和无穷观念是神展示给他的”（详见第6章）。
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