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与学生在学校里所获得的印象相反，数学不只是一系列技巧。数学向我们显露关于某些我们还未知的，甚至从未臆度过的重要现象，在某些情况下甚至显露与知觉矛盾的道理。它是我们关于物理世界的知识之精华。它不但超出了知觉之域而且大大优于知觉。
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数学与知识的探求 致谢
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我感谢牛津大学出版社为此书所做的耐心细致的工作。我还想谢谢我的妻子海伦以及曼若琳·曼那维茨小姐，她们仔细阅读并打印了手稿。
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布鲁克林，纽约
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1985年3月
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莫里斯·克莱因
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数学与知识的探求 历史概观：外部世界存在吗？
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哲人是这样的人，他知晓其他人知之甚少的某些事情。
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笛卡儿
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哲学家之言有尽人类荒谬之极者。
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西塞罗
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整部哲学不是像在用蜜撰写吗？乍看很奇妙，再看消失殆尽，只剩下黏稠的污痕。
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爱因斯坦
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有独立于人类的物理世界存在吗？山脉、树木、陆地、大海、天空，无论是否有人在场感知，它们都存在吗？这似乎是愚蠢的问题。当然存在。我们不是常常观察这世界吗？我们的感官不是不断地提供这世界存在的证据吗？然而，深思之士却不会对显而易见的东西不屑考问，即便只是为了确证也要问一问。
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我们从哲学家开始。这些爱智者，多少世纪以来深思细考了关于人类和世界的所有问题，然而像单恋的痴情者一样常常感到失落。最伟大的哲学家中有人思考过关于外部世界存在的课题。有否认其存在者，也有承认其存在者，不过这些人又认真地怀疑我们对于外部世界了解了多少、我们的知识有多可靠。杰出的哲学家伯特兰·罗素在其《我们关于外部世界的知识》（Our knowledge of the external world）一书中写道：“自古至今，比起其他学问，哲学自认为有资格获得的极多而实际成果却极少。”尽管如此，我们还是应考察一下某些哲学家不得已而言之者为何。我们将集中讨论那些认真考问过我们关于外部世界的知识的哲学家。
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第一个探讨此问题的是大约公元前500年的希腊哲学家赫拉克利特（Heraclitus）。赫拉克利特并不否认外部世界的存在，但坚持世上任何事物都常变。用他的话来说，人不能两次踏进同一条河流。从而我们自认为收集到的关于物理世界的事实在下一瞬间就不再存在。
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与此相反，伊比鸠鲁（Epicurus, 公元前341—前270）坚持这一基本原则：我们的感官是到达真理的绝对可靠的向导。感官告知我们，物质存在，运动发生，最终的实在是由存在于真空中的原子组成的物体。它们一直存在，不可毁坏，并且不可分不可变。
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古今最有影响的哲学家柏拉图（Plato, 公元前341—前270）也对此问题感兴趣。他承认一个外部世界的存在，但却得出这样的结论：通过感官感知的世界是混杂的，变化多端，永不停息，是不可靠的。真正的世界是理念的世界，不可变不朽坏。不过这理念世界不能由感官而只能由心智来把握。观察是无用的。在《理想国》（Republic）中，柏拉图明确地论述，表象后的实在才是天生的、数学的。理解实在就是从表象中抽绎出实在，而不是将实在强加于表象。数学是真正存在的基础，是永恒实有的。柏拉图强调数学的重要性，把它构想成关于抽象的、非物质的理想理念的更普遍系统的组成部分。这些理想理念是完美的模型，而宇宙中任何事物，不管是物质的、伦理的，还是美感的，都力图臻于完美。柏拉图在《理想国》中说道：
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但是如果任何人试图获知感官的东西，不管瞪眼向上还是眯眼向下，我都不会说他会真正获知什么——因为这永远得不到真知；同样我也不会说他的灵魂在向上看，而是向下，哪怕他是仰面浮在海上或躺在陆地上在研究。
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普鲁塔克（Plutarch）在其《马塞卢斯生平》（Life of Marcellus）中叙述道：柏拉图的两个著名的同时代人，优道克苏斯（Eudoxus）和阿球塔斯（Archytas），以物理论据来证明数学结果。柏拉图义愤填膺地谴责此类证明乃几何学的堕落：那是以感官事实来取代纯粹的推理。
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柏拉图对天文学的态度可说明他关于我们应探求的知识的观点。他说，这门科学并不关乎可见天体的运动。天空中星辰的布置和其表观运动的确奇妙美观，但这只是观察和对运动的解释，离真正的天文学相差很远。在达至这门真正的科学之前我们必须将天空搁置一边。因为真正的天文学研究的是数学天空中真正星辰的运动规律，而可见天空只是数学天空的不完美的表现。通过苏格拉底之口，柏拉图告诉我们天文学家的要务，这些话现在已很著名：
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