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损失归咎于这商人的错误推理。他认定苹果和橘子的平均价格应是每个两美分。然而，每个苹果的平均价格是美分，每个橘子的平均价格是美分。两者的平均价格是美分，而不是两美分。
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接下来我们来考虑另一种常见的错误直觉。假设我们有一圆形的花园，半径为10英尺。我们想建一栅栏保护花园，栅栏在每一点上都要超出花园边界1英尺。栅栏比花园本身的周长长多少？答案很容易得到。花园的周长可由一几何学公式给出，公式是周长等于半径的2π倍，π大约等于22/7。因而花园的周长是2π×10。栅栏超出花园1英尺的条件意味着栅栏的半径应是11英尺。因而栅栏的长度是2π×11。两者周长的差是22π－20π即2π。所以，栅栏应比花园的周长长2π英尺。到此为止没有什么特别的。
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现在我们来考虑一个相关的问题。假设我们要建造一条围绕地球的公路——这对于现代的工程师来说是小事一桩——并且要求全程公路高于地球表面一英尺。公路比地球的周长长多少？在计算数值之前让我们运用自己的直觉至少来估算一下。地球的半径大约是4000英里即21120000英尺。既然这半径大约是上述花园半径的200万倍，我们可能会预期公路的额外长度应是围绕花园的栅栏的额外长度的200万倍。后者的数值恰好是2π英尺。因而对公路额外长度的直觉推算似乎会得到数值2000000×2π英尺。不管你是否同意这种推算，几乎可以肯定你会估算公路的长度将比地球的周长大得多。
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运用一点数学就会知道真实情形。为避免计算大数字，我们设地球的半径为r，则地球的周长为2πr。公路的周长或者说长度为2π（r＋1）。后者等于2πr＋2π。因而公路长度和地球周长的差恰好是2π英尺，正好和栅栏长度与花园周长的差相等，虽然公路围绕巨大的地球而栅栏是围绕小小的花园。事实上，数学能告诉我们更多。不管r的值是多少，差2π（r＋1）－2πr总是2π。这意味着，如果外圆在每一点上距内圆一英尺，外圆的周长总是比内圆的周长恰好大2π。
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在许多其他的情况中，直觉会发生失误。一个距一棵树有一段距离的人注意到一只苹果要落下，想用来复枪子弹击中苹果。他知道当子弹到达苹果时，苹果已落下一段距离。那么他应当瞄准低于苹果的某点以击中它吗？不，他应该瞄准苹果开火。因为在子弹飞行过程中，苹果和子弹都落下同样的距离。
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作为直觉易于发生错误的最后一个例子，让我们假定在一次网球联赛中，有136名参赛者，组织者想安排最小数量的比赛选出获胜者。他需要安排多少场？直觉似乎是无用的。答案是135场。因为每个竞争者必须被击败一次，而一旦被击败就被排除。
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为什么我们易于产生感官错觉和错误直觉？对各种感觉器官的生理机制进行考察就能揭示感官错觉。就我们的目的来说，我们需要知道的只是，人的感觉器官和大脑是复杂的。至于直觉，实际上是经验、感官印象和粗略猜想的结合；至多能说是浓缩的经验。随后的分析或实验会证实或反驳它。直觉曾被描述为只是根植于心理惰性的习惯力量。
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当我们谈论知觉上确定的东西时，我们预设了知觉和知觉者的分离。但这是不可能的，因为没有知觉者就不会有知觉。那么什么是客观的？我们也许会天真地以为所有的知觉者都同意的就是客观的。有一个太阳和一个月亮，太阳是黄的，月亮是蓝的。
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赫尔姆霍兹（Helmholtz）在其《生理光学手册》（The Handbook of Physiological Optics, 1896）中写道：
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很容易看出，我们归于它们（外部世界的客体）的所有性质，只是表示它们在我们的感官上或者在其他外部客体上产生的效果。颜色、声音、味道、气味、温度、平滑和质实属于第一类，它们表示在我们的感觉器官上产生的效果。同样，化学性质与反应有关，即与所研究的自然客体在其他自然客体上作用的效果有关。物体的物理性质如光学的、电学的、磁学的性质也是这样。由此可以推出，事实上自然界中客体的性质，并不如其名称显示的那样属于客体自身，而总是表示和另一个物体的（包括我们的感觉器官）的关系。
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避免错觉和错误的直觉，我们应求助于什么？最有效的答案是运用数学。这如何有效还有待于考察。我们主要关心的是要表明，我们的物理世界中有一些现象和我们通过感官知觉到的现象一样实在，不过是超感觉的或者根本不能知觉；并且事实上在当今的文化中我们利用和依赖这些超感觉的实在现象，至少和我们依赖于感官知觉一样，甚至有过于依赖感官知觉。这并不是说数学不利用知觉和直觉作为自己发展的提示。然而，数学超越了这些提示，正如金刚石超越了玻璃。关于我们的物理世界，数学所揭示的远比苍穹的奇观更令人惊异。
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数学与知识的探求 [:1701058933]
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数学与知识的探求 第2章 数学的兴起和作用
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在每门具体的自然科学中，有多少数学存在，就有多少严格的科学。
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康德
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诸神没有从一开始就揭示一切，但是人寻求并且终究会获知更多。
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克塞诺芬尼
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衣服经常暴露了穿衣人。
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莎士比亚
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尽管通过我们的感官得到的信息已经过实验细致的观察、度量、检验，尽管我们现在能够借望远镜、显微镜、勘探仪和非常准确的度量设备之助，然而这样得到的知识仍然是有限的，并且只是近似准确的。虽然关于行星的数量、行星上卫星的存在、太阳黑子和利用罗盘导航，我们已经知道得很多了。然而，与那些我们需要、想要研究的现象的多样性和重要性比起来，所有这些知识上的增益都是微不足道的。
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增长和增进我们关于物理世界的知识的关键、有力、决定性的一步是数学的运用。这一工具的作用远优于上章所描述的手段，可称之为最佳的甚至奇迹性的。它不但校正和增长我们关于可知觉现象的知识，而且可以揭示活生生的但根本不能知觉的现象，但这些现象的效果像触摸火炉一样实在。有一些物理鬼魂存在于我们的日常生活中，这是无可怀疑的。它们的存在是如何被揭示出来的，将是我们下面要讨论的焦点。
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我们这些在西欧和美洲受教育的人，对于数学的本性及其日常运用是耳熟能详的，甚至可以说是习以为常。我们通常将西欧数学的源头追溯到巴比伦文明和古埃及文明。甚至这些文明也从公元前3000年起积累了一些有用而不相互关联的规则和公式，以解决人们在日常生活中碰到的实际问题。这些民族并没有认识到利用数学的力量可以扩展感官所揭示的以外的关于自然的知识。他们的数学可看成是化学之前的炼金术。
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