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毕达哥拉斯学派的自然哲学很难说是根基稳固的。而且，毕达哥拉斯学派并没有将物理科学的任何分枝推展得很远。公正地说，可将他们的理论称为肤浅。不过，由于巧合或凭直觉的天才，毕达哥拉斯学派提出了后来证明非常重要的两条论断：第一条是，自然是根据数学原理建立的；第二条是，数的关系居于自然秩序背后，统一、揭示自然秩序。
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原子论者留基伯（Leucippus, 约公元前440）和德谟克里特（Democritus, 约公元前460—前370）也力陈数学的重要性，他们相信所有的物质都由位置、大小和形状不同的原子组成。位置、大小和形状是原子的物理上真实的性质。所有其他的性质如味道、热度和颜色都不在原子中，而在于原子在知觉者上产生的效果。这种感性知识是不可靠的，因为它随知觉者不同而变化。像毕达哥拉斯学派一样，原子论者宣称，居于物理世界常变之貌背后的实在可用数学来表达。这样，这个世界中的所发生的事件由数学定律严格决定。
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最有效地推广对自然的数学研究的希腊人是柏拉图。柏拉图接受了一些毕达哥拉斯学派的教义，他自己就是一位大师，在意义重大的公元前四世纪主导了希腊思想。它是雅典学院的奠基者。这一学术中心吸引了那个时代的思想精英，并延续了九百年。柏拉图的观点清楚表达在其对话录《费力布篇》（Philebus）中。我们已经提到（参见《历史概观》（Historical Overview）），柏拉图认为真实世界是根据数学设计的。我们通过感官所知觉到的是真实世界不完美的再现。实在和物理世界的可理解性只有通过数学才能把握，因为“神永恒地将一切几何学化”。柏拉图比毕达哥拉斯学派走得更远，因为他不但想通过数学来理解自然，而且想超越自然来把握理想的、数学化组织的世界，他相信这才是真正的实在。感觉的、不长久的、不完美的要以抽象的、永恒的、完美的来代替。他希望几个具有穿透力的观察将提示基本的真理，然后通过理性来展开它们；这时，他就不需要进一步的观察了。从此以后，自然将全部被数学代替。的确，他批评毕达哥拉斯学派，因为他们研究听到的和谐音的数，但从来没有达到数自身的自然和谐。对于柏拉图来说，数学不仅是理念和感觉之物之间的中介；数学秩序是实在本性的真正描述。柏拉图还奠定了公理演绎方法的原则（我们随后将讨论）。他将这种方法看成是将知识系统化并到达新知识的理想途径。
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探索数学以研究和获得关于物理世界的真正的知识也受到柏拉图最主要的继承人的大力提倡。尽管关于数学和真实世界的关系，亚里士多德及其追随者与柏拉图主义者有些不同，其学派也阐述和主张自然的数学图式（design of nature）。亚里士多德断言数学抽象是从物质世界中得出的；然而其著作中没有任何段落主张将数学作为感性知识的校正或扩展。他的确相信天体的运动是数学化设计的，但是，从根本上说，数学规律只是事件的描述。对于亚里士多德来说，事件的终极因或者说事件的目的，即目的论教义，才是最重要的。
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当亚历山大大帝（Alexander the Great, 公元前356—前323）开始征服世界时，他将希腊世界的中心从雅典转移到一个埃及城市，他谦虚地为其命名为亚历山大城。正是在亚历山大城欧几里得写下了第一部值得纪念的数学知识文献，经典性的《几何原本》（Elements）。这里证明这一形式做了第一次普遍认可的登场。欧几里得还写了力学、光学和音乐论文，其中数学是核心。数学是为人所知的物理世界所包含之物的理想描述。他的一些定理确实提供了几何形状和整数性质的新知识。然而，由于我们没有欧几里得的原始手稿，我们不知道究竟新知识是他的目标呢，还是他主要关注感性知识的可靠性。不管怎么说他是其他数学创造者的引路人。
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亚历山大里亚时期（约公元前300—公元600）的希腊人对数学的发展几乎是不可估量的。就我们目前的目的来说，我们只需要提及阿波罗尼乌斯（Apollonius, 公元前262—前190）的巨著，《圆锥曲面》（Conic Sections）；阿基米德关于数学和力学许多领域的各种一流著作；希帕库斯、麦乃劳斯和托勒密（Ptolemy, 公元85—165）的三角几何著作以及在后期（公元250）狄奥范图斯的算术著作。像欧几里得的著作一样，所有这些著作都对物理世界的客体、关系和现象给予了理想描述，扩展了我们的知识。
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希腊文明为罗马人和伊斯兰教徒的征服所摧毁，随着它的终结欧洲进入了中世纪，后者从大约公元500年到公元1500年延续了一千年。这种文化由天主教会统治，教会将尘世的生活放在从属地位，以便为天国中的来生作准备。结果，无论是用数学或其他任何手段研究自然，都受到贬低。不过，一些个人或团体（罗伯特·格罗塞泰斯特、罗杰·培根、约翰·派坎以及牛津的默顿学派——其成员包括奥康姆的威廉、托马斯·布劳德沃丁、巴斯的阿布拉德、查特斯的斯里和康彻斯的威廉）的确做了一些努力继续数学和物理研究。特别是他们相信，数学为物理现象的真实描述；还有一些，如阿布拉德和斯里因坚持实验技巧而知名。所有这些思想家都相信宇宙从根本上说是合理性的，数学推理能够产生关于它的知识。我们也不应忽视这个时期印度和阿拉伯的贡献，这些成果逐渐被吸收到数学知识的主体中。
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我们主要关注的近代时期，可看作始于公元1500年。十六世纪作为文艺复兴即希腊思想的再生而常常引人注目。究竟希腊手稿如何到达文艺复兴的中心意大利，与我们的论述无关。我们只是说希腊观点迷住了欧洲人，这就够了。
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一般地说欧洲人对于新的力量和影响并没有立刻产生反应。在经常被称作是“人文”的时期，对希腊著作的研究比主动追求希腊人的目标更典型。到大约公元1500年，欧洲人的头脑注满了希腊人的目标——利用理性研究自然，探求作为其基础的数学图式，开始活跃。然而他们面临着一个严峻的问题：希腊人的目标与当时占统治地位的文化相冲突。希腊人相信自然的数学图式的存在，自然永远不变地遵循理想的蓝图；而中世纪后期的思想家将所有的计划和行动归结到基督教上帝。他是设计者和创造者，自然的一切行为都遵循他定下的蓝图。宇宙是上帝一手造成的，受制于他的意志。文艺复兴时期和随后几个世纪的数学家和科学家是正统的基督教徒，因而接受了这一教义。但天主教教理决不包括自然的数学图式的希腊教义。那么理解上帝之宇宙的企图是如何与探求自然的数学规律相协调呢？答案是增加一条新的教义——基督教上帝根据数学设计了宇宙。这样，“企图理解上帝的意志及其创造物是最重要的”这一天主教教义，变成了探求上帝对自然的数学设计。正如我们随后将见到的，16、17和多数18世纪的数学家的工作是一种宗教追求。探求自然的数学规律是一种献身行为，会揭示上帝的创造物的荣耀和伟大。
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这样，数学知识，即关于上帝的宇宙设计的真理，变得和圣经的任何一行一样神圣不可侵犯。人类不能希冀像上帝自己同样清楚地理解神圣的计划。但人至少可以怀着谦卑和谦逊寻求接近上帝的心智，从而理解上帝的世界。
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还可以更进一步，断言这些数学家确信作为自然现象之基础的数学规律的存在，并坚持探求它们，是因为他们先验地相信上帝将数学规律结合到宇宙的建造中。每一个自然规律的发现都被欢呼为上帝智慧之光的证据，而不是研究者才智的证据。数学家和科学家的信念和态度传遍了文艺复兴的欧洲。新近发现的希腊著作面对着非常虔诚的基督教世界，生在一个世界而被另一世界所吸引的思想领袖融合了两者的思想。
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随着这种智性热情，另一个教义——“回到自然中去”的观念获得了支持。每一类科学家都放弃了以意义含混、与经验无关的教条式的原则为基础作无穷无尽的推理，而求助于自然自身作为知识的真正源泉。确实，到1600年欧洲人被激励去从事经常被称为科学革命的事业。几个事件激发或者加速了这一运动：地理学探险发现了新的陆地和新的民族；望远镜和显微镜的发明揭示了新现象；罗盘辅助导航；哥白尼提出的日心说刺激了关于我们的行星系统的新思想；清教徒革命向天主教教义做出挑战。数学不久重新获得了它作为自然之钥的地位。
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这一对现代欧洲数学的历史背景的简述主要意在表明，我们在随后章节主要探讨的数学及其在研究自然中的运用，并不是像晴空霹雳一样突然诞生。不过，我们关注的不是提供了工具来校正和扩展我们关于通常知觉到的现象之知识的初等数学，而是在解释和描述通过感官不容易获得或根本不能获得的现象中，数学所取得的成就。就这个目的来说，我们不需要研究和精通数学技巧，而理解数学是如何能使我们再现物理现象并获得关于这些现象的知识是最主要的。
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什么是数学方法的精髓？首先是基本概念的引入。有些是直接得到物质或物理客体的启发，例如点、线、整数。除了基本概念，事实上数学由源于人类心智深处的概念主导。这种概念的几个例子是：负数、代表数的集合的字母、复数、函数、各种曲线、无穷数列、变分、微分方程、矩阵和群以及高维空间。
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上述的有些概念完全缺乏直觉意义。还有一些的确有物理现象中的直觉基础，如导数，即瞬时变化率。然而，尽管它与速度的物理现象有关，导数更是一种智力构造，从质上说，与数学上的三角形是完全不同的一种贡献。
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在整个数学史上，新概念开始时总受到怀疑。甚至负数概念起初也被严肃的数学家抛弃。然而随着它的用途在应用中变得明显，每个新概念都被勉强接受了。
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数学的第二个本质特征是抽象。在其《理想国》中，柏拉图在谈到几何学家时说道：
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尽管他们利用可见的形状，并就此推理，但他们所想的不是这些，而是这些形状所相似的理型：所想的不是所画的图形，而是绝对的正方形和绝对的直径……他们其实在寻求看见物本身，而这只能通过心智之眼才能见到。你不知道这些吗？
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要使数学有力量，它必须在一个抽象概念中涵盖那个概念所涉及的所有物理显现的本质特征。这样，数学上的直线必须涵盖拉紧的琴弦、直尺的边、田地的边界和光线的路径。
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概念是抽象物可以最基本的概念——数——为例。认识不到这一点会导致混乱。一个简单的情景可用于说明这一点。一个人走进一鞋店买三双鞋，每双鞋的价格是20美元。店员说三双鞋需要60美元，等着顾客给他钱。但顾客回答说，每双鞋20美元，三双鞋的价格不是60美元，而是60双鞋。他向店员要60双鞋。顾客这样做对吗？和店员同样正确。如果鞋的双数乘以美元得出美元，那么同样的计算为什么不能得出鞋的双数？回答是我们并没有将鞋乘以美元。我们从实际情境中抽象出数3和20，相乘得到60，然后再解释这个结果来适用实际情境。
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数学的另一特征是理想化。数学家在研究直线时有意忽略粉笔线的宽度来加以理想化，或者在一些问题中将地球看成是一个完美的球形。理想化自身并不严重地偏离实在。但在用于实在时，它确实提出了这个问题，即要研究的真实的粒子或路径是否和其理想化足够接近。
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数学最显著的特征是其运用的推理方法。基础是一套公理，并运用演绎推理于其上。公理一词（axiom）来源于希腊文，意思是“认为有价值”。希腊人引入了公理概念，即如此自明的真理，没人能够怀疑它。柏拉图的“回忆说”断言，当人作为灵魂存在于真理的客观世界中时，就先天熟悉了真理，几何学的公理代表了对先前所知的真理的回忆。亚里士多德在《后分析篇》（Posterior Analytics）中坚持，根据我们不会出错的直觉可知公理为真的。而且，我们必须有这些真理，我们的推理就建基于其上。相反，如果推理要用不能确定为真理的事实，就需要进一步的推理来确认这些事实，这一过程不得不无穷地重复下去。亚里士多德还指出，有些概念必须不给出定义，否则就无起点可言。今天像点、直线这样的术语是不定义的；它们的意义和性质取决于规定其性质的公理。
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数学所处理的许多概念是由人的头脑发明的，同样，关于这些概念的公理也发明出来，以适合这些概念关于实在意在揭示的。如此，关于负数和复数的公理必然与关于正数的公理不同，或者至少后者应加以推广以包括负数和复数。新概念的微妙之处非常大，有些数学分支建立起来很久以后，才建立起正确的公理基础。
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除了数学公理，一些物理知识也加入了数学对物理世界的贡献。这可以采取物理公理的形式，如牛顿的运动定律，实验观测的概括，或者纯粹只是直觉。这些物理假设是用数学语言表述的，所以数学公理和定理可用于其上。
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不管概念和公理多么根本，是从公理得出的推论允许我们获得全新的知识，以校正我们的感官知觉。在许多类型的推理中——如归纳、类比和演绎——只有演绎推理能保证结论的正确性。因为发现1000个苹果是红的就做出结论说所有的苹果都是红的，这是归纳推理，因而是不可靠的。同样，约翰和他的孪生弟兄继承了同样的天赋，如果因为后者大学毕业就断定前者也应如此，这种论证是类比推理，当然不可靠。与此相反，尽管演绎推理可采取多种形式，却能保证结论的正确。这样，如果承认所有的人是会死的而苏格拉底是人，就必须承认苏格拉底是会死的。这里涉及的逻辑原理是亚里士多德称为三段论推理的一种形式。在演绎推理的规律中，亚里士多德还加入了矛盾律（一个命题不能同时既真又假）和排中律（一个命题必须在真和假中择一）。
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