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数学所处理的许多概念是由人的头脑发明的，同样，关于这些概念的公理也发明出来，以适合这些概念关于实在意在揭示的。如此，关于负数和复数的公理必然与关于正数的公理不同，或者至少后者应加以推广以包括负数和复数。新概念的微妙之处非常大，有些数学分支建立起来很久以后，才建立起正确的公理基础。
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除了数学公理，一些物理知识也加入了数学对物理世界的贡献。这可以采取物理公理的形式，如牛顿的运动定律，实验观测的概括，或者纯粹只是直觉。这些物理假设是用数学语言表述的，所以数学公理和定理可用于其上。
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不管概念和公理多么根本，是从公理得出的推论允许我们获得全新的知识，以校正我们的感官知觉。在许多类型的推理中——如归纳、类比和演绎——只有演绎推理能保证结论的正确性。因为发现1000个苹果是红的就做出结论说所有的苹果都是红的，这是归纳推理，因而是不可靠的。同样，约翰和他的孪生弟兄继承了同样的天赋，如果因为后者大学毕业就断定前者也应如此，这种论证是类比推理，当然不可靠。与此相反，尽管演绎推理可采取多种形式，却能保证结论的正确。这样，如果承认所有的人是会死的而苏格拉底是人，就必须承认苏格拉底是会死的。这里涉及的逻辑原理是亚里士多德称为三段论推理的一种形式。在演绎推理的规律中，亚里士多德还加入了矛盾律（一个命题不能同时既真又假）和排中律（一个命题必须在真和假中择一）。
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他和世人毫不质疑地接受，这些演绎原理用于任何前提时得出的结论和前提同样可靠。因而，如果前提是真理，结论也是。值得注意的是，亚里士多德是从数学家已实行的推理中抽象出这些演绎推理原理。事实上，演绎推理是数学之子。
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理解对演绎证明的坚持是多么彻底，是重要的。对于偶数我们愿意验证多少就验证多少，都会发现，每个偶数都是两质数之和。然而，我们不能断言这一结果是数学定理，因为它不是根据演绎证明得出的。同样，假设一个科学家要度量100个在不同地点具有不同大小和形状的三角形的角之和，发现在实验精确度的限度内，和都是180度。然而，不仅度量是近似的，还存在一个问题：是否没有度量过的某个三角形会产生显著不同的结果。科学家的归纳证明在数学上是不可接受的。相反，数学家从可靠的事实或公理开始。如果相等数加上相等数，和相等，这谁能怀疑？通过这些无可置疑的公理，可以演绎地证明，任一三角形的角之和都是180度。
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我们刚才描述的演绎过程是利用逻辑来为推理辩护。几乎直到现在所运用的还是亚里士多德逻辑。我们可以追问为什么应用逻辑得出的结论可应用于自然，为什么由蹲在密闭空间中的人类大脑推出的定理，像在许多情形中只是由人类头脑指示的公理一样，可应用于真实世界？我们将在第12章回到为什么数学有效这个问题。
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我们还需要提及数学的另一个重要特征——符号体系的运用。尽管一页数学符号很难说是吸引人的，毫无疑问的是，如果没有符号体系，数学将迷失在文字的荒原中。在大量的日常简写中，我们都用符号。例如我们用N. Y.来表示纽约。尽管这些符号的意义需要学习，毫无疑问符号体系的简洁有助于理解，而用语言来表达将会使头脑负担过重。
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数学家得出关于我们的物理世界的事实的方法，一言以蔽之，即为种种真实的现象建立模型。概念，通常是理想化的（无论从观察自然中得出还是由人类的头脑提供）；公理，也可以由物理事实或人类头脑提示；直觉、理想化、概括和抽象的过程都被用于建立模型。当然，还有证明，使模型的各组成成分牢固结合。人们最熟悉的模型是欧几里得几何学，不过我们将考察许多更精致复杂、更巧妙的模型，比起欧几里得几何学来，这些模型关于这不明显的现象提供远远多于前者的信息。
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我们的目的，是看看数学如何稳健地进入现代世界，不仅作为我们的不完美的感觉的校正方法，而且尤其作为扩展人类所能获得的关于世界的知识的方法。正如汉姆雷特所说：“贺拉修，在天国中和大地上，有比你的哲学之梦中更多的事物。”我们必须超越感觉知识。与感官知觉相反，数学的精髓，在于它利用人类头脑和人类推理来产生关于物理世界的知识；而即使西方文化中的普通人，也相信数学是完全运用感官知觉得到的。
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在其《科学与近代世界中》（Science and the Modern World），阿尔夫雷德·诺斯·怀特海（Alfred North Whitehead）强调了数学在探索物理世界中的重要性。
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随着数学不断退居于越来越抽象的思想的更高地带，它返回地面时却具有对于分析具体事实不断增长的重要性……这一悖论现已完全确立，即极度的抽象是控制我们思考具体事实的真正武器。
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20世纪的首席数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）也这样评论道，现在物理学是如此重要，不能全留给物理学家去研究。
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数学与知识的探求 第3章 希腊人的天文学世界
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苏格拉底：很好，普罗塔库斯，让我们以一个问题开始。
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普罗塔库斯：什么问题？
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苏格拉底：这个宇宙是听任非理性和偶然性的导引，还是相反，如我们的祖先宣称，由奇妙的智性和智慧赋予秩序，并为其主宰。
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普罗塔库斯：这两个论断相差何止千里，杰出的苏格拉底。你刚对我说的后一个论断似乎是亵渎神灵，而另一个论断，即智性赋予一切秩序，是适合此世界之壮观的。
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柏拉图：《费雷布篇》
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众所周知，希腊人的天文学理论没有留存下来。然而，这些理论是数学如何理解所知觉的世界的最早的基本范例。而且，如果我们将哥白尼和开普勒开创的天文学革命与先前的理论比照，就更能理解这一革命之巨大。
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这里主要关注于数学对不可知觉的物理世界所揭示出来的，或者说这样的世界只能如此不充分地知觉，以至于我们的知觉成了物理上真实有意义之实在的粗糙错误的表象。在数学这样的应用中，希腊人在数学天文学中尤其优异，为更成功的数学理论铺好了路。
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他们强调天文学研究的基本理由是，天空呈现了最复杂的运动，至少就人眼所能辨认出的来说是如此。在古希腊没有望远镜，即使有，在确定天体运动的模式时也不可能会足够有用。星辰和类似星辰的物体的出现、消失、再出现，是令人不安和神秘的。
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尽管希腊人没有提出现今这样的数学天文学，但他们草创了它，而且为替代它的理论提供了启示。对宇宙现象的真正的数学推理和理解起始于希腊人。
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即使在最原始的社会中也的确存在着对于天体的兴趣。太阳的光和热，太阳和月亮常带的颜色，在一年的不同时间出现和消失的行星的亮光，天河令人惊异的光的全景以及日月食，引起了诧异、欣赏和推测，在有些情形中还引起了恐惧。然而，在前希腊时代，关于这些现象的任何可称为精确的知识，都仅限于太阳和月亮的旋转周期，以及一些行星、恒星出现和消失的时间。不幸的是，这些信息不足以得出这些物体的大小和距离的估算，更不用说提供其相对运动的描述了。
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