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数学家得出关于我们的物理世界的事实的方法，一言以蔽之，即为种种真实的现象建立模型。概念，通常是理想化的（无论从观察自然中得出还是由人类的头脑提供）；公理，也可以由物理事实或人类头脑提示；直觉、理想化、概括和抽象的过程都被用于建立模型。当然，还有证明，使模型的各组成成分牢固结合。人们最熟悉的模型是欧几里得几何学，不过我们将考察许多更精致复杂、更巧妙的模型，比起欧几里得几何学来，这些模型关于这不明显的现象提供远远多于前者的信息。
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我们的目的，是看看数学如何稳健地进入现代世界，不仅作为我们的不完美的感觉的校正方法，而且尤其作为扩展人类所能获得的关于世界的知识的方法。正如汉姆雷特所说：“贺拉修，在天国中和大地上，有比你的哲学之梦中更多的事物。”我们必须超越感觉知识。与感官知觉相反，数学的精髓，在于它利用人类头脑和人类推理来产生关于物理世界的知识；而即使西方文化中的普通人，也相信数学是完全运用感官知觉得到的。
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在其《科学与近代世界中》（Science and the Modern World），阿尔夫雷德·诺斯·怀特海（Alfred North Whitehead）强调了数学在探索物理世界中的重要性。
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随着数学不断退居于越来越抽象的思想的更高地带，它返回地面时却具有对于分析具体事实不断增长的重要性……这一悖论现已完全确立，即极度的抽象是控制我们思考具体事实的真正武器。
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20世纪的首席数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）也这样评论道，现在物理学是如此重要，不能全留给物理学家去研究。
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数学与知识的探求 第3章 希腊人的天文学世界
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苏格拉底：很好，普罗塔库斯，让我们以一个问题开始。
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普罗塔库斯：什么问题？
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苏格拉底：这个宇宙是听任非理性和偶然性的导引，还是相反，如我们的祖先宣称，由奇妙的智性和智慧赋予秩序，并为其主宰。
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普罗塔库斯：这两个论断相差何止千里，杰出的苏格拉底。你刚对我说的后一个论断似乎是亵渎神灵，而另一个论断，即智性赋予一切秩序，是适合此世界之壮观的。
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柏拉图：《费雷布篇》
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众所周知，希腊人的天文学理论没有留存下来。然而，这些理论是数学如何理解所知觉的世界的最早的基本范例。而且，如果我们将哥白尼和开普勒开创的天文学革命与先前的理论比照，就更能理解这一革命之巨大。
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这里主要关注于数学对不可知觉的物理世界所揭示出来的，或者说这样的世界只能如此不充分地知觉，以至于我们的知觉成了物理上真实有意义之实在的粗糙错误的表象。在数学这样的应用中，希腊人在数学天文学中尤其优异，为更成功的数学理论铺好了路。
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他们强调天文学研究的基本理由是，天空呈现了最复杂的运动，至少就人眼所能辨认出的来说是如此。在古希腊没有望远镜，即使有，在确定天体运动的模式时也不可能会足够有用。星辰和类似星辰的物体的出现、消失、再出现，是令人不安和神秘的。
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尽管希腊人没有提出现今这样的数学天文学，但他们草创了它，而且为替代它的理论提供了启示。对宇宙现象的真正的数学推理和理解起始于希腊人。
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即使在最原始的社会中也的确存在着对于天体的兴趣。太阳的光和热，太阳和月亮常带的颜色，在一年的不同时间出现和消失的行星的亮光，天河令人惊异的光的全景以及日月食，引起了诧异、欣赏和推测，在有些情形中还引起了恐惧。然而，在前希腊时代，关于这些现象的任何可称为精确的知识，都仅限于太阳和月亮的旋转周期，以及一些行星、恒星出现和消失的时间。不幸的是，这些信息不足以得出这些物体的大小和距离的估算，更不用说提供其相对运动的描述了。
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埃及人和巴比伦人主要作了太阳和月亮运动的观测，部分是为了历法计算，部分是为了获得季节更替的知识，而这对于农业来说是重要的。然而，无论这两个民族还是其他先于希腊的文化都没有构造出天体运动的综合描述。当然，他们缺乏所需的数学知识，没有真正有效的观测工具。天体的复杂行为对于他们隐藏了任何蓝图、秩序和规律的指示。自然看起来变化莫测、神秘不测。
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希腊人的思路与此不同，受他们对知识的渴望和对理性的热爱的驱使，他们相信考察自然的行为将揭示出天体运动的固有秩序。我们将会看到，许多希腊天文学家提出并为之辩护的观念最终成为现代宇宙学的组成部分。这一宇宙学不是单个天才的成果。要说天才的话，它是一系列天才的业绩。
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研究天象始于米利都，这是小亚细亚西边界伊奥尼亚12个城邦中最南端的一个。这里，在公元前六世纪，各方面因素的最佳结合解放了人的智力，以参与快乐、常常是危险的玄思活动。工业与贸易给这个城邦带来了富庶，其居民舒适悠闲。市民广泛地旅游，从埃及、巴比伦和其他地方吸收了丰富的东方思想。米利都人将他们的物质繁荣看成是不需诸神之助就能有所成就的证据。渐渐地，一些有勇气之士敢于相信，宇宙自身是一个可理解的整体，可为人的心智所理解。
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泰勒斯（Thales）享有西方传统中的第一位科学家和第一位哲学家的双重荣誉。他观察星辰时落入沟中的故事证明了他对研究天象的献身精神。据说他因预言了公元前585年的日食而享有盛誉，不过现代历史学家对此表示怀疑。
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泰勒斯的后继者阿那克西曼德（Anaximander, 公元前611—前549）和阿那克西美尼（Anaximenes, 公元前570—前480）继续推测，并提出关于宇宙的基本物质及其结构的理论。不过在这些推测中，数学并没有起到根本的作用。缺乏仪器，也没有确立起一套方法，这些科学家对于天体的本性和它们离地球的距离只能作些猜测。这样一来，即使阿那克西曼德也假设恒星比太阳和月亮离我们更近。也没有提及现代意义上的行星；这些漫游者（planet一词在希腊文中的意思是漫游者）被看成是在本质上和其他星星一样。
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无论如何，泰勒斯和它的伊奥尼亚同行比先于希腊文明的思想远远进步。至少这些人敢于探索宇宙，拒绝求助于诸神、精灵、魔鬼、天使以及其他的理性所不能接受的作用者。他们的物质和客观解释以及理性的方法，使得诗性的、神话的和超自然的描述中的富于幻想而无批判的解释不再可信。富有才智的直觉探索了宇宙的本性，而理性则为这些洞察辩护。
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在希腊哲学和科学中，第二个巨人是毕达哥拉斯（Pythagoras, 公元前6世纪）。毕达哥拉斯生于米利都近旁的萨摩斯岛。通过30年的游历他开阔了自己的视野，为逃避暴政而逃离萨摩斯岛，最后在大约五十岁的时候，来到意大利的克罗陶那。在那里他将门生组织成一个奇怪的兄弟会，其会员将科学研究与宗教仪式结合起来。
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