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耶稣诞生后两个世纪，希腊天文学如日中天。是生于尼罗河畔的克劳狄乌斯·托勒密使天文学达到如此高度。像我们的历史叙述中许多的早期英雄一样，他几乎没有传记。我们只是被告知，他于78岁时去世，他在亚历山大城的天文学观测活动大概从公元127年延续到公元151年。在他的时代，他因天文学也因地理学获得声望。他还写了关于光学的著作；还出了一本关于占星术的书，其中将胡言乱语与科学混在一起。他的持久声誉来自其《数学综合》（Mathematike Syntaxis）。阿拉伯翻译者称这本书为al-megiste（最伟大的），因而产生书名《至大论》（Almagest），这本书主导了欧洲天文学达1400年之久。
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黑帕库斯的成果为我们所知是因为它保存在托勒密的《至大论》中。在其数学内容中，《至大论》给予了希腊三角学以确定的形式，而三角学保留这形式达一千多年。在天文学领域，他对关于本轮和不以地球为中心的行星轨道的地心理论作了原创性的说明，这一理论被称作托勒密理论。在量上它是如此准确，而又这样长时间为人们所接受，人们被诱惑将它看成是绝对真理。这个理论是柏拉图将天体现象合理化之问题的最终的希腊解答，并且是第一个真正伟大的科学综合。托勒密完成了黑帕库斯的工作，宇宙的数学图式之证据达到小数点后第十位。然而，像优道克苏斯一样，托勒密明确说过他的理论只是一个数学构造。
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托勒密知道阿里斯塔库斯的日心理论，但是抛弃了它，理由是一物的运动与其质量成正比。这样，如果地球运动的话，它就会将人和动物这样较轻的物体抛在后面。他的天文学以天空是球形的开始；他说，这是人类最古老的宇宙学上确定的事实。他自己的推理大都基于观测，不过旧的先天论证的回响还在持续：“天体的运动应该受到最小的阻碍，而且最容易。在平面图形中圆提供了最容易的路径，而在立体图形中球体也是这样。”托勒密认为有必要给出大地也是一个球的观测证据。正如我们已见到的，他坚持我们的星球不运动，不过他也承认，如果地球旋转，将会产生一些我们见到的现象。地球在宇宙的中央；它的体积，与星星之间的距离相比，只是一个点；他这样说是对现已确立的传统的继续。
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《至大论》的第三卷探讨的是太阳的路径问题，其要义是黑帕库斯发现的解决方法，即太阳运动的中心不是地球，而是在其近旁。托勒密说：“坚持偏心轨道的假说更合理，因为这更简单，完全由一种运动而不是两种运动实现。”这一表露的段落告诉我们，这里托勒密的思考是由优美和简洁问题主导的，而没有考虑这些天圆的物理存在。在月球理论中，托勒密发现黑帕库斯的模型——本轮绕从圆旋转——在新月和满月时符合观测结果，而在中间位置则垮掉了，这时，正如黑帕库斯已看到的，月球的表观直径似乎增加了。因此托勒密构造了一种巧妙的设计，其中在适当的位置本轮被拉向观察者。这一经调节的模型能高度准确地给出月球的黄经，但是有严重的缺陷。它隐含着我们的卫星离地球的距离有巨大的变化，而月球表观大小的可见变化却不能完全证实这距离的变化。
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托勒密的下一步是，通过比较他的观测结果和从理论中算出的位置，来推算月球到地球的距离，得出平均距离是地球半径的29.5倍。然后他借助于阿里斯塔库斯400年前的论证来推导太阳的距离，不过在这里他误入歧途，估算结果比黑帕库斯的一半还小，比实际数小10倍。在接下来的1500年中没人改进这些估算。在《至大论》的第七卷和第八卷中，托勒密改正并扩展了黑帕库斯的恒星星表，从850目增加到1022目。他根据大小（magnitude）把星星分为六类。现在magnitude这个术语不是指体积而是指表观亮度。不过，古代人认为所有的星星离地球同样远，结果亮度被看成与体积成正比。
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在第九卷中，托勒密展开了他独特的最高成就：对行星反常运动的第一个完整而严格的描述。他的起点当然是天体几何学无人质疑的第一公理，他是这样表述的：
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对于5个行星像对于太阳和月亮一样，我们的问题是要证明，所有表观上的不规则都是由规则的圆形运动产生的（因为它们不习惯于不一致和混乱）。
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在科学史上很少有哪一个先天原理这样完全而又这样长久地统治人们的思想。
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作为一级近似，托勒密认为所有的行星运动都处在黄道平面上。黄道平面即太阳的圆形路径，托勒密认为它缓慢旋转，产生了分点岁差。而且，本轮围绕从圆旋转的方案对于行星来说是不够的，因为由其导出的逆行弧对于所有的行星长度都相等，而且均匀间隔，而这与观测数据相反。托勒密反对这种过分的对称，设定了一个本轮围绕偏心轨道（eccentric）旋转。
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在偏心轨道—本轮（eccentric-epicycle）的基本模式中，现象可以被拯救了。不过托勒密发现，这只能设定每个行星的本轮不是一律围绕从圆的中心C运转，而是相对于另一个叫做对点（equant）的Q运转（见图21）。地球在E点，且EC＝CQ。行星围绕本轮运动的方向与本轮的中心围绕从圆的方向相同。（这与太阳和月球模型中所设定的相反的公转方向不同。）当行星在本轮上离地球更近的一面时，逆行就发生了。水星的情形更复杂，与托勒密为月球所作的设计相似：水星从圆的中心沿着它自己的一个小圆运动，这样这颗行星的本轮就被周期性地拉近地球。一颗内行星（金星或水星）在其自身的“一年”（等于绕太阳公转一周的时间）中沿其本轮运转一周，而本轮沿从圆运转一周需要一个行星年。外行星与这种安排相反，这里本轮沿偏心轨道运转一周的时间等于我们现在所说的行星绕太阳的公转时间，而行星围绕本轮运转一周的时间对应于我们所说的地球绕太阳的公转时间。每一个本轮都向其从圆倾斜，以保持本轮大致与黄道平行。
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图21
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托勒密写道：“让任何人见到我们设计的困难而不觉得我们的假说麻烦”，不过迷惑不解的读者可能会想表示异议。毕竟，科学并不预先保证大自然会是简单的。
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从我们的观点来看，对点是托勒密的大师手笔，是一个完全原创、完全成功的方案，预示了开普勒的椭圆。而对于这位伟大的天文学家以后的批评者来说对点的闯入损害了天体运动神圣的第一原理，这第一原理坚持的是只有相对于圆心来说的运动齐一性。在某些人看来，对点是真正引起公愤之事，这后来促使哥白尼采取地球运动的方案。伟大的科学革命有一个多么奇怪的起源啊！
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为增进他关于月亮、太阳和行星运动的精彩方案，托勒密按照它们离地球的距离来排序，不过这里他出了错。他知道他对天体体积的估算是粗糙的，因为没有好的天文学仪器可用。
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哲学上的反对暂且不管，《至大论》的几何学成就是辉煌的。然而，我们很容易相信托勒密好探求的头脑会愿意用对天空真实材料的描述来补充这些承认是想象的圆。将数学理论和可触摸的实在结合起来，将天文学家的描述工作和物理学家的解释功能结合起来，这一古老的见识在这建立几何模型的早期阶段几乎没有减弱。而实际上，两者的区别却越来越大。因为数学对非圆形轨道的坚持，以及对非地球的旋转中心的坚持，看来与合理的亚里士多德原理令人痛苦地不一致。许多希腊化时代的宇宙学家干脆置亚里士多德的物理学不顾，但数学设计不断增加的复杂性一定在许多其他思想家中引起了不断增长的对实在的疏离感，甚至也许还引起了对亚里士多德简单性乐园的怀旧感。
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托勒密在有些领域形象不佳。有些读者对于《至大论》望而生厌，因为其真实或想象的笨重的学究气，也因为其盘根错节的复杂几何学：
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在天空上
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涂抹些同心轨道和偏心轨道
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圆连着本轮，天球套着天球。
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然而，它自加限制只用齐一的圆形轨道，除了容许月亮离地球过度变化的距离外，托勒密描述天体轨道的精确度足以匹配观测数据的准确度。而且圆的倍增证明了这位伟大的天文学家面对大自然的复杂性所表现的勇气和技巧。对点的引入是第一流的数学创造，使托勒密特异于其最有才智的先驱。《至大论》应该排在科学史上最有影响的书籍之列，尽管其中解说的许多特征，尤其是居于中心不动的地球，保留了日常经验的信念和多个世纪积累的“智慧”。
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从探求真理的角度来看，值得注意的是，像优道克苏斯一样，托勒密充分认识到他的理论只是一种符合观察资料的方便的数学描述，而不一定必然是大自然的真实设计。对于有些行星他有另外的方案可供选择，不过他选择了数学上更简单的。托勒密在其《至大论》的第三卷中说，在天文学中应该寻求尽可能简单的数学模型。然而托勒密的数学模型被基督教世界接受为真理。
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托勒密理论为大自然的齐一性和不变性提供了第一个合理完整的证据，是对柏拉图将现象合理化问题的最终的希腊解答。总而言之，托勒密理论的伟大意义在于，它证明了数学在将复杂甚至神秘的现象合理化中的力量。理解大自然甚至发现完全未知的现象，从它的第一个辉煌的成功中获得了动力和鼓励。
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