1701059741
1701059742
作为一级近似，托勒密认为所有的行星运动都处在黄道平面上。黄道平面即太阳的圆形路径，托勒密认为它缓慢旋转，产生了分点岁差。而且，本轮围绕从圆旋转的方案对于行星来说是不够的，因为由其导出的逆行弧对于所有的行星长度都相等，而且均匀间隔，而这与观测数据相反。托勒密反对这种过分的对称，设定了一个本轮围绕偏心轨道（eccentric）旋转。
1701059743
1701059744
在偏心轨道—本轮（eccentric-epicycle）的基本模式中，现象可以被拯救了。不过托勒密发现，这只能设定每个行星的本轮不是一律围绕从圆的中心C运转，而是相对于另一个叫做对点（equant）的Q运转（见图21）。地球在E点，且EC＝CQ。行星围绕本轮运动的方向与本轮的中心围绕从圆的方向相同。（这与太阳和月球模型中所设定的相反的公转方向不同。）当行星在本轮上离地球更近的一面时，逆行就发生了。水星的情形更复杂，与托勒密为月球所作的设计相似：水星从圆的中心沿着它自己的一个小圆运动，这样这颗行星的本轮就被周期性地拉近地球。一颗内行星（金星或水星）在其自身的“一年”（等于绕太阳公转一周的时间）中沿其本轮运转一周，而本轮沿从圆运转一周需要一个行星年。外行星与这种安排相反，这里本轮沿偏心轨道运转一周的时间等于我们现在所说的行星绕太阳的公转时间，而行星围绕本轮运转一周的时间对应于我们所说的地球绕太阳的公转时间。每一个本轮都向其从圆倾斜，以保持本轮大致与黄道平行。
1701059745
1701059746
1701059747
1701059748
1701059749
图21
1701059750
1701059751
托勒密写道：“让任何人见到我们设计的困难而不觉得我们的假说麻烦”，不过迷惑不解的读者可能会想表示异议。毕竟，科学并不预先保证大自然会是简单的。
1701059752
1701059753
从我们的观点来看，对点是托勒密的大师手笔，是一个完全原创、完全成功的方案，预示了开普勒的椭圆。而对于这位伟大的天文学家以后的批评者来说对点的闯入损害了天体运动神圣的第一原理，这第一原理坚持的是只有相对于圆心来说的运动齐一性。在某些人看来，对点是真正引起公愤之事，这后来促使哥白尼采取地球运动的方案。伟大的科学革命有一个多么奇怪的起源啊！
1701059754
1701059755
为增进他关于月亮、太阳和行星运动的精彩方案，托勒密按照它们离地球的距离来排序，不过这里他出了错。他知道他对天体体积的估算是粗糙的，因为没有好的天文学仪器可用。
1701059756
1701059757
哲学上的反对暂且不管，《至大论》的几何学成就是辉煌的。然而，我们很容易相信托勒密好探求的头脑会愿意用对天空真实材料的描述来补充这些承认是想象的圆。将数学理论和可触摸的实在结合起来，将天文学家的描述工作和物理学家的解释功能结合起来，这一古老的见识在这建立几何模型的早期阶段几乎没有减弱。而实际上，两者的区别却越来越大。因为数学对非圆形轨道的坚持，以及对非地球的旋转中心的坚持，看来与合理的亚里士多德原理令人痛苦地不一致。许多希腊化时代的宇宙学家干脆置亚里士多德的物理学不顾，但数学设计不断增加的复杂性一定在许多其他思想家中引起了不断增长的对实在的疏离感，甚至也许还引起了对亚里士多德简单性乐园的怀旧感。
1701059758
1701059759
托勒密在有些领域形象不佳。有些读者对于《至大论》望而生厌，因为其真实或想象的笨重的学究气，也因为其盘根错节的复杂几何学：
1701059760
1701059761
在天空上
1701059762
1701059763
涂抹些同心轨道和偏心轨道
1701059764
1701059765
圆连着本轮，天球套着天球。
1701059766
1701059767
然而，它自加限制只用齐一的圆形轨道，除了容许月亮离地球过度变化的距离外，托勒密描述天体轨道的精确度足以匹配观测数据的准确度。而且圆的倍增证明了这位伟大的天文学家面对大自然的复杂性所表现的勇气和技巧。对点的引入是第一流的数学创造，使托勒密特异于其最有才智的先驱。《至大论》应该排在科学史上最有影响的书籍之列，尽管其中解说的许多特征，尤其是居于中心不动的地球，保留了日常经验的信念和多个世纪积累的“智慧”。
1701059768
1701059769
从探求真理的角度来看，值得注意的是，像优道克苏斯一样，托勒密充分认识到他的理论只是一种符合观察资料的方便的数学描述，而不一定必然是大自然的真实设计。对于有些行星他有另外的方案可供选择，不过他选择了数学上更简单的。托勒密在其《至大论》的第三卷中说，在天文学中应该寻求尽可能简单的数学模型。然而托勒密的数学模型被基督教世界接受为真理。
1701059770
1701059771
托勒密理论为大自然的齐一性和不变性提供了第一个合理完整的证据，是对柏拉图将现象合理化问题的最终的希腊解答。总而言之，托勒密理论的伟大意义在于，它证明了数学在将复杂甚至神秘的现象合理化中的力量。理解大自然甚至发现完全未知的现象，从它的第一个辉煌的成功中获得了动力和鼓励。
1701059772
1701059773
1701059774
1701059775
1701059776
数学与知识的探求 [:1701058935]
1701059777
数学与知识的探求 第4章 哥白尼和开普勒的日心说
1701059778
1701059779
不过它在动。
1701059780
1701059781
伽利略
1701059782
1701059783
这一章的主题是一个经常讲述的故事，是关于采纳行星系统的日心说理论，来代替托勒密的地心说。当然，日心说现在看来是正确的理论——但是为什么我们会接受它呢？它与我们的基本感觉是相背离的。接受关于物理世界的概念得如此彻底地改变，数学在其中起作用吗？
1701059784
1701059785
根据日心理论，地球绕它的轴旋转，每24小时旋转一周。这就意味着赤道上的人在24小时中旋转25000英里，或者说速度是大约每小时1000英里。我们可以根据我们在汽车中每小时行驶100英里的经验来判断这一难以置信的高速度。此外，地球还围绕太阳公转，速率是每秒钟18英里，或者说每小时64800英里，这又是一个难以置信的速度。然而在地球上我们既感觉不到自转又感觉不到公转。而且，如果我们即使以每小时100英里的速度旋转，为什么我们不会被抛入太空？我们多数人都骑过旋转木马，它的旋转速度是大约每秒钟100英尺，而我们会感到有种力，如果不抓紧旋转木马上的固定物，那种力就会把我们抛到空中。
1701059786
1701059787
然而，我们今天接受日心理论作为对事实的描述，尽管旧的地心理论还在我们的日常语言中留下痕迹。我们仍然说太阳自东方升起在西方落下。从而是太阳在动而不是我们随旋转的地球在动。
1701059788
1701059789
为什么数学家和天文学家作了如此巨大的改变，转到日心理论？我们将会看到，在这场革命中数学起了决定性的作用。我们已见到（在第2章中），欧洲人获悉了强调大自然的数学设计的古希腊著作。这一信念又为天主教教义所强化，这教义在中世纪起主导作用，即上帝设计了宇宙。大概数学就是这设计的精髓。
1701059790