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如果有一些胡言乱语者，尽管对数学一无所知，却擅自评判数学问题，并且为他们的目的而歪曲圣书中的段落，敢于在我的体系中挑错、公开指摘，我会忽视他们，甚至蔑视他们的判断为无知。
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哥白尼还进一步说道，圣经可以教导我们如何走向天国，而不能教导我们天空如何运动。
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尽管太阳不动的假说大大简化了天文学理论和计算，但正如已指出的，行星的本轮路径并不怎么符合观测结果。决定性的改进是50年后由那个不可思议的神秘主义者、理性主义者、经验主义者约翰·开普勒（Johann Kepler, 1571—1630）作出的。这个德国人将奇妙的想象力、洋溢的热情与在获取观测资料时无穷的耐心以及对事实细节的极度服从结合起来。开普勒的个人生活与哥白尼形成鲜明的对照。哥白尼年轻时就获得了极好的教育，过着遁世的、稳定的生活，他能够几乎全部献身于建立理论。而开普勒于1571年出生，出生时就身体弱，为父母所忽视，只是得到很差的教育。他那个时代的大多数男孩若是对学习有兴趣，父母就会期望他去学习做牧师，开普勒也是这样。1589年他进入图宾根大学，在那里他从一个狂热的哥白尼主义者米夏尔·迈斯特林学习了天文学。开普勒受新理论影响强烈，而路德教会的修道院院长们却不是这样，他们质疑开普勒的热诚。开普勒反对当时路德教思想的狭隘，放弃了牧师职业，而接受了格拉茨大学的数学和道德学教授职位。此大学在奥地利的施丢利亚，在那里他开设了关于数学、天文学、修辞学和维吉尔的课。他也被请去做星相学预测，当时他似乎相信这些东西。他着手掌握这门技艺，并检验他对自己命运的预测来练习。后来他不那么轻信了，常常提醒他的顾主说：“我所说的可能发生，也可能不发生。”
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在格拉茨，开普勒引进了由教皇格里高里十三世支持的新历法。清教徒们拒绝接受，因为他们宁愿与太阳不一致也不愿与教皇一致。不幸的是，施丢利亚开明的天主教首领的继任人是一个不宽容的首领，开普勒发觉那里的生活不舒服了。尽管他受耶稣会保护了一段时间，并且靠教授天主教教义还可以留在那里，但他拒绝那样做，最终离开了格拉茨。
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1600年他获得了一个职位，做著名的天文观测者第谷·布拉赫（Tycho Brahe, 1564—1601）的助手。后者正在对天文学观测数据做自古希腊以来的第一次较大的修正。布拉赫死后开普勒继任为波希米亚皇帝鲁道夫二世的“帝国数学家”。这位雇主也期望开普勒为宫廷成员占星算命。开普勒顺从了这一职责，他的哲学观是大自然给所有的动物都提供了谋生的手段。他惯于称占星术为天文学的女儿，女儿赡养她自己的母亲。
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开普勒来到布拉格大约10年后，鲁道夫皇帝开始经历政治动乱，付不起开普勒薪水。这样开普勒不得不另找一份工作。1612年他接受了林茨的地方数学家职位，但是其他的困难仍然缠绕着他。在布拉格时，开普勒的妻子和一个儿子已死去，他再次结婚，但在林茨他又有两个孩子死去。除了家庭悲剧，清教徒不接受他，挣的钱很少，为生存而挣扎。1620年林茨被信奉天主教的巴伐利亚公爵马克西米良征服，开普勒受到更严重的迫害，身体更弱了。他生命的最后几年是这样度过的：努力出版更多的书，收欠他的薪水，寻找新职位。
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开普勒的科学推理很有魅力。他像哥白尼一样，是一个神秘主义者，并且像哥白尼一样，相信世界是由上帝根据简单美丽的数学图式设计的。“这样上帝太和善了不愿赋闲，开始玩识别标志的游戏，将世界标上与他的相似性；因此我偶然想到所有的自然物和优雅的天空可由几何学的技艺来表示。”在《宇宙的神秘》（Mystery of the Cosmos, 1596）中他进一步说，“为什么轨道的数量、大小和运动是这样的而不是另外的样子”，造物主心智中的数学和谐可以提供原因。这种信念主导了他所有的思考。
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当然，开普勒也有一些我们所理解的科学家的品质。他能够冷冰冰地富有理性。尽管他丰富的想象力激发了新理论系统的构想，他知道理论必须符合观测结果。在晚年他更清楚地看出经验数据确实可能提示基本的科学原理。所以，当他见最心爱的数学假说不符合观测数据时，就牺牲它们。拒绝容忍当时其他科学家可能会忽视的不一致，正是这种不可思议的执著促使他支持彻底的观点。他还有谦卑、耐性和精力，这些都能使伟人从事超常的劳累。
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在作鲁道夫皇帝的帝国天文学家期间，他完成了最严肃的工作。为哥白尼系统的美与和谐关系所打动，他决心献身于探索第谷·布拉赫的观测数据可能提示的另外的几何学和谐，发现联系所有的自然现象的数学关系。然而，他喜好将宇宙放进一个预先构想的模式中，这也使他花费了好多年走弯路。他在《宇宙的神秘》一书序言中写道：
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我从事于证明，上帝在创造宇宙和调节宇宙的秩序时，心目中所注视的是自毕达哥拉斯和柏拉图以来为我们所知的5个正几何体；而且，他根据这些正几何体的尺度确定了天体的数量、它们之间的比例和运动关系。
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因此他设定6个行星的轨道半径是与5个正立方体有关的球体的半径。最大的半径是土星的轨道半径。在这个半径的球中他假设内接一个正方体。在这个正方体中内切一个球，它的半径就是木星的轨道半径。在这个球中内接一个正四面体，在四面体中内切一个球，这个球的半径就是火星的半径，以此推下去，用完5个正立方体。这样能得到6个球体，正好够当时所知的行星的数量（见图23）。
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不久开普勒意识到他漂亮的理论不准确，尽管他所计算出的行星之间的距离非常接近事实，但它们并不与多面体之间的球的距离严格相符。
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图23
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至此，开普勒的工作会受到与亚里士多德攻击毕达哥拉斯时同样的批评：“他们并不是为现象寻找理由和原因，而是强行使现象符合他们的意见和预想，试图重建宇宙。”然而，明察的开普勒太尊重事实了，不会坚持与观测数据不符而且不能给出准确预言的理论。
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只是在开普勒获得了布拉赫的观测资料，并且自己也做了更多的观测后，他确信必须抛弃他的先驱托勒密和哥白尼以及他自己构想的天文学模式。他寻找符合这些新观测数据的规律，三个著名的成果是其最高成就。前两个在开普勒于1609年出版的《论火星的运动》（On the Motion of the Planet Mars）中公布于世。
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第一个定律与一切传统决裂，在天文学中引入了椭圆。这种曲线大约两千年以前已由希腊人透彻地研究过，因而其数学性质是已知的。圆定义为与某一固定点距离（半径）相等的所有点的集合，而椭圆可定义为与两个固定点的距离之和相等的所有点的集合。这样如果F1和F2是固定的点（见图24），P是椭圆上的点，无论P在椭圆上的何处，和PF1＋PF2保持不变。固定点F1和F2叫作焦点。开普勒第一定律是，每一个行星都沿着椭圆运动，太阳是其焦点之一。另一个焦点只是一数学点，上面没有物理的存在。当然，每个行星都沿着自己的椭圆运动，太阳所在的焦点对于所有的行星都是一样的。1500年来人们试图用圆的组合来描述每个行星的运动，其结果是用一个简单的椭圆来代替每一个组合。
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图24
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开普勒第一定律告诉我们行星遵循的路径，但没有告诉我们行星沿着这路径运动多快。如果我们在某一时刻观察到一行星的位置，还是不能知道何时它将在那条路径的另一点上。人们也许会预想每个行星在其路径上以匀速运动，但是观测数据这最终的权威使开普勒相信事实不是这样。开普勒的第二个发现是，连接太阳和行星的线扫过的面积是恒定的。也就是说，如果行星在一个月中从P运动到Q（见图25），在同样的时间内从P′运动到Q′，那么面积F1PQ和F1P′Q′是相等的。发现有一种简单的方式来叙说行星速度的数学定律，开普勒欣喜若狂。很显然上帝喜欢恒定面积胜过恒定速度。
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图25
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还有一个重要问题没有解决。什么规律描写行星到太阳的距离？使此问题更复杂的是，行星到太阳的距离并不恒定。开普勒探求一条能将此问题考虑在内的新原理。他相信大自然不仅是根据数学设计的，而且是和谐地设计的。他相信有一种天体的音乐产生和谐的音响效果，虽不是产生实际的声音，不过将行星运动的事实翻译成音符后还是能辨认出的。顺着这条线索，经过数学论证和音乐论证的令人惊异的结合，他得到了一条规律，就是，如果T是任一行星的公转周期，D是它到太阳的平均距离，那么
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