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在作鲁道夫皇帝的帝国天文学家期间，他完成了最严肃的工作。为哥白尼系统的美与和谐关系所打动，他决心献身于探索第谷·布拉赫的观测数据可能提示的另外的几何学和谐，发现联系所有的自然现象的数学关系。然而，他喜好将宇宙放进一个预先构想的模式中，这也使他花费了好多年走弯路。他在《宇宙的神秘》一书序言中写道：
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我从事于证明，上帝在创造宇宙和调节宇宙的秩序时，心目中所注视的是自毕达哥拉斯和柏拉图以来为我们所知的5个正几何体；而且，他根据这些正几何体的尺度确定了天体的数量、它们之间的比例和运动关系。
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因此他设定6个行星的轨道半径是与5个正立方体有关的球体的半径。最大的半径是土星的轨道半径。在这个半径的球中他假设内接一个正方体。在这个正方体中内切一个球，它的半径就是木星的轨道半径。在这个球中内接一个正四面体，在四面体中内切一个球，这个球的半径就是火星的半径，以此推下去，用完5个正立方体。这样能得到6个球体，正好够当时所知的行星的数量（见图23）。
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不久开普勒意识到他漂亮的理论不准确，尽管他所计算出的行星之间的距离非常接近事实，但它们并不与多面体之间的球的距离严格相符。
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图23
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至此，开普勒的工作会受到与亚里士多德攻击毕达哥拉斯时同样的批评：“他们并不是为现象寻找理由和原因，而是强行使现象符合他们的意见和预想，试图重建宇宙。”然而，明察的开普勒太尊重事实了，不会坚持与观测数据不符而且不能给出准确预言的理论。
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只是在开普勒获得了布拉赫的观测资料，并且自己也做了更多的观测后，他确信必须抛弃他的先驱托勒密和哥白尼以及他自己构想的天文学模式。他寻找符合这些新观测数据的规律，三个著名的成果是其最高成就。前两个在开普勒于1609年出版的《论火星的运动》（On the Motion of the Planet Mars）中公布于世。
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第一个定律与一切传统决裂，在天文学中引入了椭圆。这种曲线大约两千年以前已由希腊人透彻地研究过，因而其数学性质是已知的。圆定义为与某一固定点距离（半径）相等的所有点的集合，而椭圆可定义为与两个固定点的距离之和相等的所有点的集合。这样如果F1和F2是固定的点（见图24），P是椭圆上的点，无论P在椭圆上的何处，和PF1＋PF2保持不变。固定点F1和F2叫作焦点。开普勒第一定律是，每一个行星都沿着椭圆运动，太阳是其焦点之一。另一个焦点只是一数学点，上面没有物理的存在。当然，每个行星都沿着自己的椭圆运动，太阳所在的焦点对于所有的行星都是一样的。1500年来人们试图用圆的组合来描述每个行星的运动，其结果是用一个简单的椭圆来代替每一个组合。
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图24
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开普勒第一定律告诉我们行星遵循的路径，但没有告诉我们行星沿着这路径运动多快。如果我们在某一时刻观察到一行星的位置，还是不能知道何时它将在那条路径的另一点上。人们也许会预想每个行星在其路径上以匀速运动，但是观测数据这最终的权威使开普勒相信事实不是这样。开普勒的第二个发现是，连接太阳和行星的线扫过的面积是恒定的。也就是说，如果行星在一个月中从P运动到Q（见图25），在同样的时间内从P′运动到Q′，那么面积F1PQ和F1P′Q′是相等的。发现有一种简单的方式来叙说行星速度的数学定律，开普勒欣喜若狂。很显然上帝喜欢恒定面积胜过恒定速度。
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还有一个重要问题没有解决。什么规律描写行星到太阳的距离？使此问题更复杂的是，行星到太阳的距离并不恒定。开普勒探求一条能将此问题考虑在内的新原理。他相信大自然不仅是根据数学设计的，而且是和谐地设计的。他相信有一种天体的音乐产生和谐的音响效果，虽不是产生实际的声音，不过将行星运动的事实翻译成音符后还是能辨认出的。顺着这条线索，经过数学论证和音乐论证的令人惊异的结合，他得到了一条规律，就是，如果T是任一行星的公转周期，D是它到太阳的平均距离，那么
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k是对所有的行星都一样的常数（D的正确值是每个椭圆路径的半长轴）。这就是开普勒关于行星运动的第三定律，是开普勒在其《论世界的和谐》（The Harmony of the World, 1619）一书中兴高采烈地宣布的。
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因为地球到太阳的距离是93百万英里，公转周期是一年，我们可将它们代入方程来确定k的值。如果知道了行星的公转周期，就可以用这条定律来计算它离太阳的平均距离，反过来也一样。
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毫无疑问开普勒会喜爱发现行星之间的距离关系，但他所得到的结果使他欣喜若狂，在书中叙述了这条规律后，他激情迸发，唱起了对上帝的赞歌：
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上帝的智慧是无穷无尽的；他的荣耀和大能也是无穷无尽的。天空啊，唱起对他的赞歌！太阳、月亮和行星，用你们说不出的语言来颂扬他！天体的和谐，所有领悟他奇妙作品的人，赞美他吧。我的灵魂啊，赞美你的创造者吧！只是通过他而且在他之中一切才会存在。我们深知的，包含在我们虚荣的科学中，也包含在他之中。赞美、荣誉和荣耀都永远归于他。
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我们应该附带说明，开普勒能够构想出简单的规律，是因为行星之间的引力相对来说很小，而且太阳的质量恰好比行星的质量大得多。不管怎么说，开普勒的工作是一项巨大的创新，是对日心说的大大推进。
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今天所受的教育已使我们接受了日心说和开普勒定律，因而不能充分理解哥白尼和开普勒所取得的成就的意义。回顾一下他们研究所处的背景，看看他们的数学真正完成了什么，对我们是有益的。
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哥白尼和开普勒身处16、17世纪。自托勒密的时代以来地心说的力量就很强大，非常符合已牢固确立的宗教教义。地球是宇宙的中心，人是宇宙的主角。太阳、月亮和星星是特地为我们创造的。日心说否认这些基本的信条，还隐含着这样的意思，即人是许多高速旋转的球体之一上的一颗无足轻重的尘埃。那么人还可能是上帝救助的主要对象吗？新天文学还摧毁了天国和地狱，而在地心说中这些都有合理的地理位置。