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为将这一计划付诸实施，伽利略需要发现基本的规律。一个人可以得出这样一个公式，来表示泰国婚姻的数量与纽约城马蹄铁价格的关系，这些数量每年都不同。然而这样的公式对科学毫无价值，因为它没有直接或隐含地包括任何有用的信息。对基本规律的寻求是另一个艰巨的任务，因为伽利略需要再一次与其先驱决裂。他对运动物质的研究需要考虑地球在空间中的运动和绕其轴的自转。这些事实本身使文艺复兴时代所拥有的唯一有意义的力学体系，即亚里士多德的力学，归于无效。
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伽利略起先倾向于接受亚里士多德的定律：重的物体落向地球时比轻的物体更快。然后他问自己说：假设我将重的物体分成两块，它们会像两个轻的物体一样下落吗？再假设我将它们捆在一起或粘在一起，又会怎样？它们现在是两块还是一块？他得出结论说，如果忽略空气阻力，所有的物体都会以同样的速度下落。
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按照亚里士多德的说法，为保持物体运动需要施加力。因而，为保持一辆汽车或一个球运动，即使在非常光滑的表面上，也需要推动力。对于这一现象伽利略的洞察比亚里士多德更深刻。实际上是空气的阻力和接触面的摩擦阻碍了球的滚动和汽车的运动。如果这些阻碍的作用不存在，保持汽车运动就不需要推动力。它将无限期地以同样的速度持续运动，而且是沿着直线路径。一物不受力时将以恒定的速度沿直线持续运动，这一基本的运动原理是由伽利略独立发现的（笛卡儿也陈述过这个原理）。这现在称作牛顿第一运动定律。此定律是说，一物只有受力的作用时才会改变速度。这样物体拥有抵制速度之改变的性质。物质的这一性质，即对速度改变的抵制，称作其惯性质量，或简单地叫做质量。
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这第一个原理就与亚里士多德的相关原理矛盾，这意味着亚里士多德犯了明显的错误吗？或者他的观察太粗糙太少而不能得出正确的原理？绝对不是。亚里士多德是一个现实主义者，他所得出的确实是观察所实际提示的。而伽利略的方法更精致因而也更有成效。伽利略是像一位数学家一样研究这个问题。他忽略了一些事实而关注另一些，这样就将现象理想化了；正如数学家通过关注一些性质、忽略另外的而将拉直的弦和尺子的边理想化了。通过忽略摩擦力和空气阻力，通过想象运动在纯粹的欧几里得式的真空中进行，伽利略发现了正确的基本原理。
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如果有力施加在物体上，那又如何描述其运动？伽利略又作出了第二个基础性的发现：持续地施加力会使物体增加或减少速度。我们可以将在每个时间单位中速度的增加或减少叫做加速度。这样，如果一个物体每秒钟速度的增加或减少是每秒钟30英尺，它的加速度就是在一秒钟每秒钟30英尺，简写为30ft/sec2。
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例如，空气的恒定阻力引起速度的恒定减少，这就解释了这个事实：一个在光滑地板上滚动和滑行的物体其速度会持续减少，直到为零。与此相反，如果一个运动的物体拥有加速度，那一定是有力的作用。一个从某一高度落向地球的物体确实拥有加速度。这种力一定是地球的引力，这种观点在伽利略的时代已经有人接受了。然而伽利略没有费时间思索这种观点，而是研究关于落体的量的事实。
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他发现，如果空气的阻力忽略不计，所有落向地球表面的物体都有同样的恒定加速度a。也就是说，它们以相同的变化率，一秒钟内每秒32英尺增加速度，用符号来表示就是：
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如果物体是自己落下，也就是说，只是从手中放开它，它将以零速度开始运动。因而，在一秒钟后它的速度是每秒32英尺；两秒钟后其速度是32×2或64英尺／秒，以此类推。在t秒后其速度v是32t英尺／秒，用符号来表示：
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这个公式准确地告诉我们落体的速度如何随时间而增加。它还表明，物体下落时间越长，速度就越大。这是一个常见的事实，多数人都观察过，从高处落下的物体，撞击地面时其速度比从低处落下的物体要快。
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我们不能通过速度乘以时间来得出落体在给定的时间内下落的距离。只有速度恒定时这样才会得出正确的距离。然而，伽利略证明，对于在t秒时下落了d距离的物体来说，正确的公式是：
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其中d是物体在t秒钟内下落的英尺数。例如，在3秒钟时，物体下落了16×32即144英尺。
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将公式（3）两边同除以16，然后两边同取平方根，就得出物体下落给定距离d所需要的时间t的公式注意落体的质量没有出现在这个公式中。这样我们可以看出所有的物体落下给定的距离都需要同样的时间。这就是传说伽利略在比萨斜塔上让物体落下时所发现的。不管怎么说，人们还是觉得难以相信，让一块铅和一根羽毛在真空中从同样的高度下落时，会在同样的时间内到达地面。
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所有物体落向地球时拥有的加速度32英尺／秒2，是由地球引力产生的。当谈论地球表面附近的物体时，我们将施加在这些物体上的引力叫做重量。尽管伽利略没有将重量和质量联系起来，我们还是应注意，地球上任何物体的重量w总是其质量m的32倍，用符号表示就是：
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这样，物体的两种不同的性质，重量和质量，联结了起来：一个总是另一个的32倍。由于这种恒常的联系，我们易于混淆这两种性质，不过我们应该清楚它们之间的区别。质量是抵制速度或方向之改变的性质，而重量是地球对物体的吸引力。如果物体在一个水平平面上，平面抵消了这种吸引力。因而，考虑水平平面上的运动时，物体的重量不起作用。但是物体的质量还起作用。我们在后面的章节将看到，区分质量和重量是多么重要。
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强调数学的作用，从17世纪以降将其置于科学的前沿阵地，这一点我们应归功于深刻的、影响巨大的哲学家笛卡儿；然而是伽利略的方法论使人类能够揭示许多自然现象的行为模式，如果不用伽利略的方法，这些不会为人所知。
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我们还可以讨论伽利略更多的具体数学成就，例如他对抛体运动的数学描述，但是我们主要关注其研究中的方法论。
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随着1638年其《关于两种新科学的讨论和数学证明》的发表，伽利略使现代物理科学驶向了数学的航道，奠定了现代力学的基础，并为所有现代科学思想树立了典范。我们将看到，牛顿继承了伽利略的方法论，无与伦比地展示了其有效性。
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