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如果有力施加在物体上，那又如何描述其运动？伽利略又作出了第二个基础性的发现：持续地施加力会使物体增加或减少速度。我们可以将在每个时间单位中速度的增加或减少叫做加速度。这样，如果一个物体每秒钟速度的增加或减少是每秒钟30英尺，它的加速度就是在一秒钟每秒钟30英尺，简写为30ft/sec2。
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例如，空气的恒定阻力引起速度的恒定减少，这就解释了这个事实：一个在光滑地板上滚动和滑行的物体其速度会持续减少，直到为零。与此相反，如果一个运动的物体拥有加速度，那一定是有力的作用。一个从某一高度落向地球的物体确实拥有加速度。这种力一定是地球的引力，这种观点在伽利略的时代已经有人接受了。然而伽利略没有费时间思索这种观点，而是研究关于落体的量的事实。
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他发现，如果空气的阻力忽略不计，所有落向地球表面的物体都有同样的恒定加速度a。也就是说，它们以相同的变化率，一秒钟内每秒32英尺增加速度，用符号来表示就是：
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如果物体是自己落下，也就是说，只是从手中放开它，它将以零速度开始运动。因而，在一秒钟后它的速度是每秒32英尺；两秒钟后其速度是32×2或64英尺／秒，以此类推。在t秒后其速度v是32t英尺／秒，用符号来表示：
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这个公式准确地告诉我们落体的速度如何随时间而增加。它还表明，物体下落时间越长，速度就越大。这是一个常见的事实，多数人都观察过，从高处落下的物体，撞击地面时其速度比从低处落下的物体要快。
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我们不能通过速度乘以时间来得出落体在给定的时间内下落的距离。只有速度恒定时这样才会得出正确的距离。然而，伽利略证明，对于在t秒时下落了d距离的物体来说，正确的公式是：
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其中d是物体在t秒钟内下落的英尺数。例如，在3秒钟时，物体下落了16×32即144英尺。
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将公式（3）两边同除以16，然后两边同取平方根，就得出物体下落给定距离d所需要的时间t的公式注意落体的质量没有出现在这个公式中。这样我们可以看出所有的物体落下给定的距离都需要同样的时间。这就是传说伽利略在比萨斜塔上让物体落下时所发现的。不管怎么说，人们还是觉得难以相信，让一块铅和一根羽毛在真空中从同样的高度下落时，会在同样的时间内到达地面。
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所有物体落向地球时拥有的加速度32英尺／秒2，是由地球引力产生的。当谈论地球表面附近的物体时，我们将施加在这些物体上的引力叫做重量。尽管伽利略没有将重量和质量联系起来，我们还是应注意，地球上任何物体的重量w总是其质量m的32倍，用符号表示就是：
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这样，物体的两种不同的性质，重量和质量，联结了起来：一个总是另一个的32倍。由于这种恒常的联系，我们易于混淆这两种性质，不过我们应该清楚它们之间的区别。质量是抵制速度或方向之改变的性质，而重量是地球对物体的吸引力。如果物体在一个水平平面上，平面抵消了这种吸引力。因而，考虑水平平面上的运动时，物体的重量不起作用。但是物体的质量还起作用。我们在后面的章节将看到，区分质量和重量是多么重要。
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强调数学的作用，从17世纪以降将其置于科学的前沿阵地，这一点我们应归功于深刻的、影响巨大的哲学家笛卡儿；然而是伽利略的方法论使人类能够揭示许多自然现象的行为模式，如果不用伽利略的方法，这些不会为人所知。
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我们还可以讨论伽利略更多的具体数学成就，例如他对抛体运动的数学描述，但是我们主要关注其研究中的方法论。
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随着1638年其《关于两种新科学的讨论和数学证明》的发表，伽利略使现代物理科学驶向了数学的航道，奠定了现代力学的基础，并为所有现代科学思想树立了典范。我们将看到，牛顿继承了伽利略的方法论，无与伦比地展示了其有效性。
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数学与知识的探求 第6章 数学与引力的奥秘
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我还没有从现象中发现引力的这些性质的原因，我不构造任何假说……知道这些就够了：引力的确存在，并按照我所说明的规律起作用；而且引力足以解释天体的所有运动。
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牛顿
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1642年，就是伽利略去世的那一年，在一个偏僻的英国村落的农场中，一位新寡的妇人生出了一个脆弱的早产儿。出身如此卑微，身体如此脆弱以至生命岌岌可危，但以萨克·牛顿竟活到八十五岁，并获得了人类的最高声誉。我们将见到，牛顿本质上用的是伽利略的方法，他继承伽利略未竟的事业。正如艾尔弗雷德·诺斯·怀特海曾说过的：“伽利略发动攻击而牛顿大获全胜。”