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到此为止牛顿的所有推理都是定性的、猜测的。要获得进展必须化为定量的。关于作用在月球上的力，牛顿继续说道：
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如果这个力太小，它将不足以使月球转离直线行程；如果它太大，它将使它转离得太大，把它从轨道上拉向地球。这个力必须是合适的量，数学家的任务是找出这个使以一定的速度运动的物体保持在给定的轨道上的力。
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牛顿在证明同样的公式适用于地球上的物体和天体中所用的推理现在已是经典性的。我们将简化叙述，不过这也可以表现出它的精髓。月球围绕地球运转的路径大致上可看成一个圆。因为月球（图27中的M）不沿着像MP这样的直线运动，很显然有某种力把它拉向地球。如果MP是月球在不受引力作用的情况下在一秒钟内运动的距离，那么距离M′P就是月球在这秒钟内被拉向地球的距离。牛顿以M′P作为地球施加在月球上的吸引力的量度。对于在地球附近的物体其对应的量是16英尺，因为落体在第一秒钟内被拉向地球16英尺。牛顿希望能证明同样的力能解释M′P和那16英尺。
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图27
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经粗略的计算他相信一物吸引另一物的力取决于它们的中心之间的距离，随着距离的增加引力减小。月球中心和地球中心之间的距离大约是地球半径的60倍。因而地球作用在月球上的力应是它作用在地球附近物体上的力的1/(60)2。也就是说，每秒钟月球被拉向地球的距离应是16英尺的1/(60)2即0.0044英尺。通过利用三角学得出的数值，牛顿发现月亮在一秒钟内被拉向地球的距离“几乎”就是那么多。这样他就得到一个最重要的证据，证明宇宙中所有的物体都按照同样的规律互相吸引。
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经更广泛的研究，牛顿发现任何两物之间的引力的精确公式是
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其中F是吸引力，M和m分别是两物的质量，r是它们之间的距离，k对于所有的物体都一样大。例如M可以是地球的质量，而m是地球附近或表面上的物体的质量。在这种情况下r是地球中心到物体的距离。当然，公式（1）就是万有引力定律。
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为综合关于地球上的运动和天体运动的全部成果，牛顿在《原理》中陈述了一些定律。尽管其中前两个已由笛卡儿和伽利略陈述过，我们现在还是称它们为牛顿定律。第一定律是：
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一物不受外力作用时，将保持静止或维持恒定速度（包括速率和方向）。
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第二定律是：
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作用在物体上的力等于物体质量和力所产生的加速度的乘积：
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加速度是物体速率的增减或方向的改变（用数学术语来说，F和a是矢量）。
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第三定律是：
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一旦两物相互作用，第一物对第二物的作用力等于第二物对第一物的作用力，且方向相反。
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这三个定律之外，牛顿又加上了极其重要的万有引力定律，即上述公式（1）。是罗伯特·胡克建议牛顿将此定律用于行星。不过牛顿概括出这个定律本来就是为了得出适用于宇宙万物的普遍规律。
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得出引力定律的一些确证后，牛顿下一步是证明这个定律可以用于地球上或地球附近的运动。这里伽利略的成果对他有帮助。设M是地球的质量，m是地球附近的一物体的质量。将公式（1）重写为：
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将方程两边同除以m，我们得到：
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对于地球表面附近的任何物体，公式（2）右边的值都是一样的，因为r大约是4000英里，M是地球的质量，而k对于所有的物体都相等。