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其中振幅a取决于磁场的强度等因素，频率b取决于导线框的旋转速度。如果它每秒钟旋转60周，那么b的值是60×360即21600（函数y＝sinx每360度经过一周期。从而60周的电流每秒钟经过60×360度。如果电流流动了t秒，那么度数是60×360t）。多数家庭供电电流每秒钟经历60个正弦周期的变化，因而叫做60周交流电。
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这样，电流可用数学公式表示。但电磁感应过程是如何产生电流的？这种现象充满了神秘。在磁场中运动的导线通过某种方式在导线上产生了电动力，这种力使电流流动。
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现代的读者不需要被告知电的广泛应用以及这种能量对我们的文明的影响，但也不妨强调一下，通过机械方式发电的原理以及将电力转化为机械力的原理，在人们想到这些应用很久以前，已经有人在研究了。当法拉第在做他的早期电实验时，一位访问者问他在导线中感生电的原理会有什么用，法拉第回答说：“新生儿会有什么用？它会最终长大成人。”还有一次格兰斯顿当财政大臣时访问他，问了同样的问题，这次法拉第回答说：“嗯，先生，你很快就能向它征税了。”
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图29
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法拉第通过另一个意义重大的实验扩展了我们关于电磁感应的知识。如图29所示，他把一个导线线圈放在另一个近旁。他的方案是使左手线圈CD中产生电流，使电流产生一磁场，磁场方向如图中的卵形线所示。这一磁场的范围将及于第二个线圈EF。不过，法拉第想产生一变化的磁场，他将A端和B端接到一交流电源上。交变的电流经过线圈，根据奥斯特原理，在其中和周围产生了变化的磁场。这样，当交流电增加时，线圈CD周围出现了较强的磁场。随着电流减弱，磁场减小。因为线圈EF并排在线圈CD近旁，线圈CD中的电流产生的磁场涌过线圈EF。
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这样，法拉第做成了经过导线线圈EF的一个变化磁场。如果一经过固定导线的磁场在导线中产生了力，这一磁场将导致一种力或者说电压，从而使线圈EF中产生了电流。此外，因为磁场不但经过线圈EF，而且强度增加和减弱，在线圈EF中感生的电流也会增加和减小。也就是说，线圈EF中的电流会是交变的。法拉第进一步猜想，只要在第一个线圈中维持交变电流，感生电流就会持续，从而他就能详尽地研究感生电流。
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法拉第确实发现线圈EF中出现了交变电流；而且，正如他所期望的，这电流的频率正好是加在第一个线圈A端和B端的电流的频率。这一原理的一项很明显的应用就是将电流从一个线圈转移到另一个，尽管第二个线圈没连接到第一个上。我们现在的变压器就有这项应用，不过我们不再探究这项应用，因为这将使我们远离主题。
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随着法拉第发现了电磁感应的重要原理，从而发现了磁学和电学之间的新联系，电磁学——这个词用来指电与磁之间的作用——现在有了好几项进展，增加了它的声誉。但是这一现象变得日益复杂，法拉第开始难以把握。在简单电磁场的情况下，构想一些物理图像、通过度量或简单的推理来得到合适的数学化定律，曾是相当容易的。在电磁感应的情形中，如果知道了第一个线圈中的电流，要确定第二个线圈中的电力和电流，已经复杂得不容易分析。首先，这一现象涉及计算伴随第一个线圈中电流的磁场强度，还要计算第二个线圈中的感生电压和感生电流。此外，法拉第既然发现了一个有开发价值的物理过程，他就希望知道如何增强它的效力。在第一个线圈中增加电流或者加长线圈或者加粗线圈，会增加第二个线圈中的电流吗？线圈的相对位置应该如何排放？
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法拉第得出的结论是，有一种媒质包围着通电物体，媒质中接触的微粒相互作用，电的磁效应是通过这种作用传播的。他称这种媒质为电介质。在这种媒质中，磁效应通过磁力线而活动，这种线不可见，但法拉第相信它们是实在的。
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法拉第承认关于磁力线的猜想可能会出错，也是可以改变的，不过这对于实验物理学家和数学家有所助益。他还说，这样的猜想会引向真实的物理真理，并努力构想电磁感应的物理解释。他的假说是，磁力线从电流或磁极出发伸向各个方向，并且他给出了一些实验证据来支持他所尝试的物理解释。例如，将铁屑扔到磁棒附近的空间中，它们自动地沿着磁力线排列。
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尽管法拉第充分意识到数学的功能，但他的天才仅局限于实验和物理思想。在复杂的电磁感应现象这一事例中，物理思想有其大大的劣势。对于抛射体的运动、抛射角和射程形成思维图像是容易的。然而，电磁场是不可见的，它们的布局不是很容易得出的。尽管在炮制物理图像时他过去曾成功过，但法拉第意识到物理思想不会使他有多大进展。法拉第已经到了这样一个阶段，物理学对于物理学家来说已经太难了，需要数学家效劳。
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幸运的是，19世纪伟大的数学物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell, 1831—1879）正在勤奋地为这项任务做准备。青年时期麦克斯韦就显示了能够做出一流贡献的迹象。他15岁时写的一篇关于产生一些曲线的力学方法的论文发表在《爱丁堡皇家学会年报》（Proceedings of the Royal Society of Edinburdge）上。在爱丁堡大学和剑桥大学求学期间，他的教授和同学就看出了他的聪明杰出和原创力。1856年，他被选为阿伯丁的麦利考学院的物理学教授。几年后他转到伦敦的国王学院。1871年，他又到剑桥大学任教。
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像所有科学家一样，麦克斯韦致力于他那个时代的富有挑战性的问题。他发明了彩色照相术，而且是气体运动理论的提出者之一。不过我们这里关注的是他在电磁学中的成果。他致力于用一个理论综合所有已知的电磁现象。他通过阅读法拉第的《实验探究》（Experimental Researches）而开始了电磁学研究。1855年，当23岁时，他发表了关于这一课题的第一篇论文《论法拉第的磁力线》（On Faraday’s Lines of Force）。在这篇和此后的论文中，麦克斯韦致力于将法拉第的物理探索翻译成数学形式。
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19世纪50年代早期，威廉·汤姆逊（William Thomson，即开尔文勋爵；1824—1907）的成果给了麦克斯韦很大影响。汤姆逊赞同对电磁现象作力学解释，他用液体的流动、热的传导和弹性作为模型。他将这些类比应用于以太。他认为以太是一种场，与超距作用相反，其中接触的微粒间有力的作用。在这之前，数学家柯西、泊松和纳韦曾提示过这种看法。麦克斯韦也寻求以太作用的力学解释。然而，他和汤姆逊都没有成功。汤姆逊引入了现在叫做场的概念，以反对超距作用。这麦克斯韦也采纳了。汤姆逊还创立了关于波的传播的数学理论，麦克斯韦从中有所获益。
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1861年，通过将以太当作弹性媒质，麦克斯韦获得了对未解决的电磁感应现象的新的洞察。法拉第将电流从一个线圈转移到另一个上的成果表明，磁场能够传播一段距离。麦克斯韦还得出一个结论：有变化的电流穿过了包围第一个导线线圈的空间。他称这种电流为位移电流。这就解释了在与导线中实际的物理电流有一段距离的地方为什么会有电流的效用。在这篇论文中麦克斯韦谈及了他对位移电流的第一瞥，但是尚不清楚、不完整。
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为证实并完善他对位移电流的理解，麦克斯韦考虑电路中电容的行为。一个电容由两块相互平行的板组成，其间是绝缘媒质如空气、甚至是真空。然而交变电流却能从一块板传到另一块板上。在麦克斯韦看来，很明显是以太将位移电流从一块板传到另一块上。
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1865年麦克斯韦发表了他的关键性论文《电磁场的动力理论》（A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field），在其中他抛弃了所有的物理模型，而提出了合适的数学理论。他的方程包括一个新项，物理上代表位移电流。这个数学公式使他相信这种电流能传播很远的距离。
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这种位移电流的本质需要一些附加解释。追随法拉第，麦克斯韦将电磁场看成存在于磁体和带电流导线周围。安培定律本身处理的是一导线中的电流。然而，当电流交变时（例如，假设它随时间正弦变化），导线中的电子快速地往返运动。从而，运动电子所建立的电场也将运动，在导线外空间中的任一点上，电场的强度也随时间变化。因而，导线中的交变电流，可看成是和导线周围空间中的变化电场共存。麦克斯韦承认这种变化电场的实在性，并评论道，它具有电流的数学性质，尽管电场本身（除了产生电场的导线）并不由电子的运动组成。他认为称这种变化的电场为位移电流是有理由的，因为这等效于电场的位移或变化。在《论电磁现象》（Treatise on Electricity and Magnetism）（1873）中，麦克斯韦自己的话清楚阐述了他的结论：
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这部论著的主要特色之一就是所断言的这样一个信条：电磁感应现象所依赖的真正的电流，和传导电流（导线中的电流）不是同一个东西，而在估算电的整个运动时，必须考虑电位移的时间变化。
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麦克斯韦探讨位移电流之存在的数学含义。奥斯特定律认为导线中的电流伴生磁场。但既然麦克斯韦在传导电流即导线中的电流外加上了位移电流，他就得出了这样的结论：位移电流也产生了一个磁场，而这个磁场是先前被认为是由传导电流单独产生的磁场的组成部分。换句话说，导线周围的磁场必定是由两种电流，传导电流和位移电流产生的。
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将要旨简述一下，麦克斯韦有胆识的第一步就是，引入了位移电流，并猜测这种存在于空间而不是导线中的电流也产生磁场。这样，他就修正了安培定律，使总电流（传导电流和位移电流）和从导线中发出的磁场联系起来。从而，麦克斯韦定律的精髓在于，变化的电场，无论是产生于传导电流还是位移电流，都产生磁场。如果我们再回想一下由麦克斯韦表述的法拉第定律，即变化的磁场产生变化的电场，就可以看出，麦克斯韦引入了相互联系。
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现在我们能够理解麦克斯韦从数学推理中所预言的了。线圈CD（图29）中的正弦电流所产生的波在周围的空间中产生了变化的电场，后者又产生了变化的磁场。但是这个磁场又产生了变化的电场，而后者又产生了变化的磁场。在线圈CD中的电流所施加的持续“压力”下，这些场将做什么？答案几乎是明显的。它们将向周围空间传播，到达远离线圈CD的点。它们甚至可以到达“远离”的另一个线圈EF。在那里，变化的电场将在导线中产生电流，这一电流可以有电流可能有的任何用途。这样麦克斯韦发现了，电磁场（即变化电场和变化磁场的组合）会传向遥远的空间。顺便提一句，当法拉第考虑如果线圈EF和线圈CD分开一些会发生什么时，他已经猜到了这种可能。然而，法拉第是在物理依据上猜测的，没有理解其机制，也没有意识到位移电流的存在，而麦克斯韦是建立在数学依据上。