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欧几里得有充分的理由来以这种方式表述其公理。他本来可以这样断言，如果角1和角2之和为180度，则直线a和b永不相交；也就是说，直线a和b平行。然而，欧几里得显然不敢设定会有永不相交的两条无限长直线。当然无论是经验还是自明性都不能证实无限长直线的行为。然而，欧几里得在其平行公理及其他公理的基础上确实证明了无限长平行直线的存在。
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欧几里得所表述的平行公理被认为有点太复杂了，缺少其他公理的简单性。很显然即使欧几里得也不喜欢平行公理的这种表述，因为直到在未加利用它就证明了所有的定理以后，他才开始用它。即使在古希腊时代数学家们已开始致力于解决欧几里得平行公理所提出的问题。所作的尝试有两类。第一类是以一种似乎更自明的表述来替代平行公理。第二类是试图从欧几里得的其他九个公理中推导出它。如果这是可能的话，欧几里得的表述将会成为定理，从而不再有问题。在两千年的时间里，几十个大数学家，更不用提小数学家，在两类尝试中都努力过。这段历史既漫长专业性又强，大部分将不在这里重述，因为对这段历史的叙述很容易得到，且与我们的主题并不是特别相关【1】。
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对于所提议的替代公理，我们至少应该讨论其中一个，因为这是当今我们通常在高中时学到的。这种表述归功于约翰·普雷夫埃（John Playfair, 1748—1819），他是于1795年提出的：
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通过不在直线l上的一给定点P，在P和l的平面中有一条且只有一条直线与l不相交。
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所提议的所有其他替代公理，尽管似乎比欧几里得的表述简单，细加考察会发现并不比之更令人满意。当然，普雷夫埃的平行公理将欧几里得所回避的当作了公理，即可能有两条永不相交的无限长直线。
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在第二类解决平行公理问题的尝试中，即寻求从其他九条公理推导出欧几里得的断言，最有意义的尝试是由盖洛拉摩·萨克里（Gerolamo Saccheri, 1667—1733）作出的，他是耶稣会牧师，帕维亚大学的教授。他的想法是这样的，如果采纳了与欧几里得公理在本质上不同的公理，就有可能得出与其他定理矛盾的定理。这样的矛盾意味着否认欧几里得平行公理——唯一一条有问题的公理——是不成立的，从而欧几里得平行公理必然是真的——也就是说，它是其他九条公理的结果。
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我们来考虑与欧几里得公理等价的普雷夫埃公理，萨克里首先假设通过点P（图33）没有直线与l平行，从这条公理以及欧几里得所采纳的其他九条公理，萨克里的确推导出了矛盾。萨克里接着尝试了第二种唯一可能的选择，即通过点P，至少有两条直线p和q无论如何延长都不会与l相交。
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萨克里继续证明了许多有趣的定理，直到他得到了这样一个定理，它是如此奇怪、如此令人难以接受，他就断定这与先前确立的结果矛盾。所以萨克里认为有充分的理由得出这样的结论：欧几里得平行公理实际上是其他九条公理的推论，就于1733年出版了他的《从归谬法证明欧几里得》（Euclid Vindicated from All Faults）。然而，后来的数学家意识到萨克里在第二种情况下没有真的得出矛盾，因而平行公理问题依然未决。
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寻找欧几里得平行公理的可接受的替代，或证明欧几里得的断言必是其他九条欧几里得公理的推论，这类尝试是如此之多，又都归为徒劳，1795年伟大的数学家让·勒翁·达朗贝尔（Jean Le Rond d’Alembert, 1717—1783）将平行公理问题称作“几何学基础中的丑闻”。
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渐渐地，数学家们开始接近对于欧几里得平行公理之地位的正确理解。在其1763年的博士论文中，后来成为海姆斯达特大学教授的格尔奥格·S·克吕格尔（Georg S. Klügel, 1739—1812）作出了一个杰出的评论：人们接受欧几里得平行公理之为真的确定性是基于经验。这一评论第一次引入了这样的思想：是经验而不是自明性支持这条公理。克吕格尔对于欧几里得断言能被证明表示怀疑。此外，他还意识到萨克里没有得出矛盾，而只是得出了奇怪的结果。
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克吕格尔的论文启发约翰·海因里希·兰伯特（Johann Heinrich Lambert, 1728—1777）继续研究平行公理。在其著于1766出版于1786的书《论平行》（Theorie der Parallellinien）中，有点类似萨克里，兰伯特考虑了两种必须择一的可能性。他也发现，假设没有通过P平行于l的直线会得出矛盾（图33）,然而，他没有断定假设至少有两条平行于l的直线通过P会得出矛盾。更进一步，他意识到任何一组不导致矛盾的假说都提供了一种可能的几何学。这样的一种几何学将会是逻辑上有效的结构，即使可能与物理形状关系不大。
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兰伯特和其他人如亚伯拉罕G·凯斯特纳（Abraham G. Kästner, 1719—1800）的成果值得强调一下。后者是格廷根大学的教授、高斯的老师。他们相信欧几里得平行公理不能根据欧几里得的其他九条公理证明出来，也就是说，它独立于欧几里得的其他公理。三者都认识到一种非欧几里得几何学的可能性——也就是说，这种几何学关于平行线的公理与欧几里得公理在本质上不同。
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致力于解决欧几里得平行公理所引起的问题的最杰出的数学家是卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Friedrich Gauss, 1777—1855）。高斯充分意识到试图确立欧几里得平行公理是徒劳的，因为这是哥廷根的常识。然而，直到1799年高斯仍然试图从其他似乎更真实的假设中推导出欧几里得平行公理，依然相信欧几里得几何学是关于物理空间的几何学，尽管他能够构想其他的合乎逻辑的非欧几何。1799年12月17日，高斯写信给他的朋友和同事沃尔夫冈·波尔约（Wolfgang Bolyai, 1775—1856）说：
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我在工作中已有所进展。然而我所选择的路径根本不会引向我们所追求的目标，而你对我言之凿凿你已到达这个目标。相反，我的工作似乎促使我怀疑几何学本身的真理性。的确，我已偶然得到了多数人会当成是［从其他的公理推导出欧几里得平行公理的］证明的许多东西，但在我看来这什么也没证明。
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自1813年以后，高斯就发展他的非欧几何学。起先他叫做反欧几里得几何学，后来又叫做超感觉世界几何学，最后才叫做非欧几里得几何学。他相信它是逻辑上自洽的，还相当肯定可用于物理世界。
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在1824年11月8日给他的朋友弗兰茨·阿道夫·陶里努斯（Franz Adolph Taurinus, 1794—1874）的一封信中，他写道：
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假定［三角形］内角之和小于180度导致了一种奇怪的几何学，非常相异于我们已有的［欧几里得几何学］，但完全自洽，我已经将其推展阐明到完全满意了。这种几何学的定理看起来是悖论，对于没入其道的人来说，是荒谬的，然而静心沉思表明它们绝没有包含不可能的东西。
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我们将不讨论高斯所创非欧几何学的细节，他创始了，但没有写成充分的演绎表述，他所证明的定理与那些我们将在罗巴切夫斯基和波尔约的成果中遇到的非常类似。1829年1月27日在给数学家、天文学家弗里德里希·威尔海姆·贝塞尔（Friedrich Wilhelm Bessel, 1784—1846）的信中他写道，他很可能永远不会出版在这个课题上的发现，因为他担心被讥笑，或者如他自己所说，他害怕比欧世恩人的叫嚣，这个比喻是指古希腊一个头脑迟钝的部落。我们应该记住，尽管几个数学家已逐渐接近非欧几何工作的尾声，广泛的知识界依然为欧氏几何是唯一可能的几何学这个信念所主导。对于高斯在非欧几何学中的工作我们所知道的是从下列材料中搜集的：给朋友的信中，《格廷根学报》1816年号和1822年号上的两篇短评，以及在他过世后留下的文档中发现的1831年笔记。
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因创造非欧几何声誉更盛的两个人是罗巴切夫斯基和波尔约。实际上，他们的工作只是先前创新观念的收场白，然而因为他们发表了系统推演的著作，通常受到喝彩，被称为非欧几何的创造者。俄国人尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobatchevsky, 1793—1856）受业于喀山大学，自1827年至1846年是那所大学的教授和院长。自1825年起，他在许多论文和两本书中发表了对于几何学之基础的观点。约翰·波尔约，沃尔夫冈·波尔约之子，是匈牙利军官。他的关于非欧几何（他叫做绝对几何学）的26页论文《绝对空间的科学》（The Science of Absolute Space），作为其父的两卷本著作《将好学青年引入纯粹数学原理之尝试》（Tentamen juventutem studiosam in elementa Matheseos）第一卷的附录出版。尽管这部书在1832—1833年间面世，因而在罗巴切夫斯基发表的著作之后，波尔约似乎在1825年就构想出非欧几何的概念，并在那时相信新几何学并不自相矛盾。
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高斯、罗巴切夫斯基和波尔约已意识到根据其他九条公理不能证明欧几里得平行公理，而且为确立欧几里得几何还需要一些附加公理。因为平行公理是独立的，所以至少在逻辑上有可能采纳一条与它矛盾的陈述，并推展这套新公理的结果。
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这些人所创立的专业知识相当简单。我们不妨来看看罗巴切夫斯基的成果，因为三者大概上都作了同样的事情。罗巴切夫斯基有胆识地放弃欧几里得平行公理，而作了萨克里实际上已作出的假设。给定一直线AB和一点P（图34），则对于AB来说所有通过P的直线分成两类，即与AB相交的一类和与AB不相交的一类。更精确地说，如果P点到直线AB的垂直距离为a，那么存在这样一个锐角A，所有和垂直线PD所形成的角小于A的直线都将与AB相交。两条和直线AB所形成的角为A的直线为平行线，A叫作平行角。经过P点而与AB不相交的直线，除了那些平行线，其他的叫作非相交线。不过在欧氏几何中，这些也叫做平行线。从这种意义上说，在罗巴切夫斯基几何学中，经过P点有无穷数量的平行线。
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