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借助于偏微分方程中的数学知识，德布罗意推导出：与一个粒子相联系的波的波长λ应该等于普朗克常数h除以粒子的质量m及其速度v。具体说来就是：
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乘积mv是动量，通常用p来表示。对于质量为一克、速度为每秒一厘米的粒子来说，λ＝h，大约是10-26厘米，是原子核的千万分之一。从而，在我们熟悉的大尺度物质世界中，所有的物体与其物质波比较都非常巨大，所以观察不到物质波。
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德布罗意关于波与所有物质粒子（尤其是电子）相关的思想，由厄文·薛定谔（Erwin Schrödinger, 1887—1961）加以发展，后者于1926年构造了一个关于函数ψ的偏微分方程，函数ψ能表示这些波的形状。解这个方程就能得出波形，方程的解叫做本征函数（eigenfunctions）或特征函数（characteristic functions）。当赋予解中的常量以数值时，函数就导向了一些特定的值，叫做本征值或特征值。一个原子中电子的不连续的能量值是作为波动方程的本征值出现的，如果能够得出，它们就与波尔理论一致。
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为了理解薛定谔关于电子波如何活动的概念，我们来考虑一个略图。图38表示一个波，现延展到两个波长的距离。如果这个波是在小提琴弦上拉出的，它将上下颤动，占据实线和虚线之间的所有位置。它还可能以基础波长的分数（例如，二分之一，三分之一）波长颤动。在薛定谔方程所描述的情形中，这个电子波的波长围绕着原子核，可以延展两个、三个甚至五个波长。在每一种情况下都是波长的整数倍。最后的波的末端连在最初的波上。按照图38来说，B点与A点连在一起。
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图38
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薛定谔的ψ代表物质波的波幅，在空间的各个点上不相同，在时间的各个瞬时也不相同。它们是驻波，基本上限制在原子核周围的小区域中。每一个都随着与原子核距离的增加而逐渐衰减，但大多数波都在从实验上说是原子大小的范围内。对于最低能态下的氢原子来说，波动模式只在大约10-8厘米范围内有可测到的波幅。对于任何一种原子来说，薛定谔波动方程的解给出电子不连续的波动模式，与每一个状态相联系，有特定的能量值。
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再重复一下，描述原子中电子的薛定谔波必须被看成是包含一系列不同的波长，而不是单一波形的单一波长。从这一点上说，它很像乐器发出的复合声波。
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关于德布罗意—薛定谔波的一个很明显的问题就是：它们是由什么形成的？换一种说法就是，这种波由什么物质组成？当19世纪发现光波和其他的电磁波时，这样的问题也提出过。起初物理学家认为那些波是一种叫做以太的神秘物质的颤动，对于其行为构想了各种各样的力学模型。然而最终证明这些观念是站不住脚的，波被看成是一种独立的存在体。在电子波的情形中，薛定谔起初提议波代表电荷的分布，这样在原子中，电子电荷和电子密度从物理上分布在波不为零的空间中。然而，这种行为从来没有观察到。相反，无论什么时候发现电子，其整个的电荷都集中在很小的空间中，从而电子是粒子性的。
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严格地说，列举在各个能级中独特的可能的波模式，是指与单个电子自身相对应的波模式。当一个原子中有许多电子时，它们的身份就模糊了，它们的波模式融合成单一的波模式，与所有的电子共同对应。
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薛定谔的电子图像就像是变化密度的云，是三维的。这些云相互包围，每一个的密度从零到最大值又从最大值到零变化。云延展到原子外部，但在离原子的距离在波尔所预言的地方密度最大。云是对于数学公式的解释，作为图像必然是不清楚的，不可能使薛定谔的数学推导严格地图像化。找到薛定谔方程的分析解是如此之难，因而只有几个问题能够严格求解。不过，这几个与实验非常吻合，而其他的尽管是近似的，也似乎与实验一致。一个能完全求解的问题是关于氢原子的，对于任何实验能够检验的问题，它都能回答。
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电子在某些情形下的行为像波，这一点由克林顿·J·戴维森（Clinton J. Davisson, 1881—1958）和赖斯特·革末（Lester Germer, 1896—1971）所进行的著名实验证实了，后来又由乔治·P·汤姆森（George P. Thomson, 1892—1975）于1927年证实。他们证明了电子波的衍射（利用晶体的栅格结构）。衍射是波绕过障碍物的现象。从原理上，这就是水波绕过船尾时所发生的事情。因此可以肯定在某些现象中粒子的行为像波。现在物理学家确信所有亚原子粒子都有与其相关的波，其波长满足德布罗意所推导出的关系。这样，德布罗意和薛定谔的研究把麻烦的波粒二象性概念推向前台。
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尽管有证据表明在某些情况下电子的行为确实像波，“将电子在原子核周围涂抹”这种想法对于所有的物理学家来说都是不可接受的。既然电子的电荷是一个确定的量，在任何小区域内电荷密度必须无限小这种想法是令人不愉快的。电荷总是电子电荷的整数倍。基于这个理由，且为避免波粒二象性，马克斯·波恩（1882—1970）于1926年提出了对于薛定谔理论的一种完全不同的解释。波恩引入了几率解释。
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概率论，由于和机会对策有关联偶然地进入了数学，在19世纪后半期已经由麦克斯韦和路德维希·波尔兹曼（Ludwig Boltzmann, 1844—1906）用来研究并得出描述气体运动的定律——气体分子运动论。事实上，爱因斯坦著名的1905年论文之一就是专门研究这个课题的，叫作布朗运动。原来的看法是将电子看成是弥漫的云，密度在各点不同；与此相反，波恩将密度解释成在任一点发现作为粒子的电子的几率。
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对于薛定谔微分方程中的函数ψ，波恩提议｜ψ｜2是某一瞬间粒子在某一微小空间内的几率。这样一来，只能知道作为粒子的电子在某处的可能性。例如，如果在某点｜ψ｜2＝0.8，那么在那点周围很小的空间内发现粒子（电子）的可能性是80％。几率解释现在仍是公认的解释。
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对于在某一给定的空间内找到电子，几率解释能够给出准确的估计。当探测到电子时，它不是弥漫开来，这与薛定谔的物质波理论相反。然而，问题是几率解释是不是最佳的可能的解释，是不是由于部分的无知。
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利用概率似乎是没有办法的办法，但是统计力学的历史显示了概率论的价值。任何气体都是混乱的分子运动的集合。但是，利用最可几的值（the most probable values）却可以计算气体的压力及其他值，这些值在物理上是高度有意义的。
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爱因斯坦、普朗克和薛定谔都反对几率解释。爱因斯坦在1935年的一篇论文中阐述了其反对意见。他的论据是，量子理论是近似的、不完备的：
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我拒绝当代统计量子理论中的基本观念，因为我不相信这个基本概念能证明是一个对于整个物理学有用的基础……事实上，我确信：当代量子理论本质上的统计品格主要应归咎于这样的事实：这一理论是以对于物理系统不完备的描述来运作的。
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尽管几率解释现在是公认的，也许通过进一步的研究能够确实无疑地确定电子的精确位置。然而，根据量子力学的新特点之一，某种程度上的不确定是不可避免的。这就是由维纳·海森堡（Werner Heisenberg, 1901—1976）于1927年阐明的不确定原理。粗略地讲，它断言的是，在某一给定的瞬间，我们永远不能期望对于粒子的位置和速度（动量）都获得准确的信息。更精确地说，海森堡证明位置和动量不确定值的乘积至少是h/2π。他确信这种不确定性，并将其归因于这样的事实：粒子既是波又是粒子。位置和动量分开度量可以得到精确值，但同时却不行。海森堡还说，在这样精细的度量中，探测体就变得事关重大了。
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后一种不确定性的原因是测量仪器并不比电子小或者精细。只能用其他的电子或光子，但它们自身对于要观察的粒子有强烈的作用。因而，我们不能无干扰地观察到原子世界中的事件。既然在任何时刻我们都不能同时精确知道位置和速度，关于粒子我们就不能预言多少。我们能够预言几率。经典物理学的观察和实验将不再对此有用。
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如果普朗克常数足够大的话，宏观现象中也将有这种不确定性。例如，当神枪手瞄准靶子时，我们不能肯定能击中。但量子力学的现实并不对应于宏观的现实。不确定性是波动力学固有的。不过，位置和动量的不确定值非常小，它们对于观察到的（宏观）现象的影响是可忽略不计的。
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量子理论的不确定原理也反驳了关于客观性的经典概念——世界有一个独立于观察的确定的状态。这与我们通常关于世界的经验形成对比，后者支持客观性的经典观念：即使我们不知觉它，世界也在运行。早晨一觉醒来，世界还存在，像你睡去时一样。然而，不确定性解释坚持：如果我们对于世界观察得更细一点——在原子的层次上——那么其实际的存在状态部分地取决于我们如何观察它以及我们选择要观察什么。客观的实在必须由“观测者创造的实在”来代替。