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我和伦尼已经相识10年了，在哈佛大学读研究生的时候，我们周末经常一起出去玩，凌晨两点一边用油腻的勺子吃炸薯条，一边以大致相同的观点谈论数学和女人。但那时我们从未一起工作过。他的研究方向是纯数学，而我是应用数学。我们可以互相理解，但并不能完全理解对方。
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读博期间，伦尼研究了一个非常抽象的问题，希望以这一课题完成博士论文。他的直觉告诉自己某个理论一定是正确的，于是他花了三年时间试图证明它。但有一天，他意识到这个理论是错误的，因为他发现了一个反例可以摧毁一切。一切都已无法挽救。然而，他并没有沮丧，反而切换到数学领域的一个新分支，解决了其中的一个关键问题，完成了论文，所有这一切只用了一年时间。
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1987年前后，我和伦尼开始一起工作。我们二人优势互补，通常由我提出问题，解释其科学背景，进行计算机模拟，提出直观论证。而伦尼会思考解决这个问题的策略，然后找到证明这一理论的方法。
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当我告诉伦尼我对佩斯金的模型进行的计算机实验时，他最初很好奇。在理解了这个问题后，他就变得跃跃欲试起来，就像一位等待走上拳台的拳击手。他给了我几分钟时间来总结我所做的工作，但没过多久，他就坚持要用自己的方法来观察它。
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伦尼毫不留情地简化了模型。对于佩斯金的原始电路模型中原有的电容、电阻、电压这些细节，他完全没有耐心。他猜测，这个模型唯一关键的特征是：每个振子都遵循一个缓慢上升的电压曲线，直至升到阈值，所以他从一开始就利用了这一曲线。他抛弃了电路，取而代之的是一个抽象的、类似于电压的变量，这个变量反复上升到阈值、发射，然后复位。然后他假想了n个完全相同的这种变量的集合，各个变量都像以前一样相互作用：当一个振子发射的时候，会刺激其他振子上升一个固定的数值，达到阈值的就会发射，而后者上升的数值稍小些。
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伦尼的简化模型不仅清晰（减少了大量代数运算），而且适用范围更广。它不再只是电压形式的电气学解释，我们现在可以将变量当作测量任何准备发射的振子，无论是心脏起搏细胞还是蟋蟀，也无论是神经元还是萤火虫。
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我们能够证明，对于任意数量的振子，无论它们如何启动，这个广义的系统几乎总是会达到同步。证明中一个关键的要素是“吸收”的概念，简单来说就是，如果一个振子刺激另一个振子超越了阈值，它们便会永远保持同步，仿佛一个振子吸收了另一个。在我的计算机实验中，吸收是显而易见的，振子会像雨滴一样融合。它们同样也是不可逆的：一旦两个振子一起发射，它们就再也不会自己分开，因为它们的动力学特性完全相同。此外，它们与其他振子的耦合也完全相同，所以即使被其他振子刺激，它们也会保持同步，因为它们受到的刺激是相同的。因此，吸收的作用就像棘轮，总是会把系统推向同步。
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这个证明的核心是，一系列的吸收把振子锁在不断增长的集群中，直到它们最终凝聚成一个庞大的群体。如果你不是数学家，你可能会好奇如何去证明这样的东西。系统有着无穷多的不同的启动方式，如何才能包含所有的可能性？如何确保会发生足够多次的吸收，使系统一路走向最终的同步？
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我会在下文概述原因，不必太担心具体的细节。这里只是想要给你一种如何建立这种证明的意识。现在你所期待的证明并不像你经历过的高中几何证明那样，经常以一种机械、专业的方式出现。完成一个数学证明实际上是一个非常具有创造性的过程，充满了模糊的想法和图景，特别是在证明的初期，而那些严谨的证明后来才会出现。
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第一步是列出所有可能的起始状态。例如，让我们重新考虑两个振子的情形。由于有佩斯金的频闪方法，我们无须在所有时刻都观察振子，观察每个周期中的一个时刻就足矣。我们选择振子A发射后返回零位的时刻，那么振子B可能位于零电位与阈值之间的任意位置。将B的电压视为数轴上的一点，零电位是0，阈值是1，我们可以看到不同的可能性组成了一个线段。这个一维线段包括了系统所有可能的起始条件（因为我们知道A位于0点，刚刚释放回到零位；B的电压是唯一的变量，一定位于0和1之间的线段上的某个位置）。
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3个振子创造了一个更大的概率空间。现在我们需要了解两个数字：鉴于A刚刚释放回到0点，我们仍然需要指定这一刻振子B和C的电压数值，我们要看到这两个概率的分布，即B和C电压的所有组合。与几何学上与一对数字对应相似，我们可以把它们看作二维空间中一个点的横纵坐标。
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我们画出x、y平面，与高中数学类似，x轴为横坐标，代表A发射时B的电压。y轴为纵坐标，代表同一时刻C的电压。一对电压值便可表示为此平面中的一个点。
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因为我们允许B和C的电压可以独立地在0和1之间自由变化（包含所有的可能性），相应的点便在一个正方形区域内移动。正如旋转蚀刻素描(2)上的两个旋钮在正方形屏幕上移动机械笔。
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3个振子的结果是，所有可能的初始条件构成了一个正方形区域：一个轴表示B，另一个表示C。在这里，我们不需要为A建立一个轴，因为A的起始位置总是在0点，通过我们对系统的定义便可以知晓（见图1-2）。
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图1-2 3个振子同步模拟示意
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图1-2 3个振子同步模拟示意（续）
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模式变得清晰了。随着振子的增加，我们需要增加更多的维度来说明所有的可能性。4个振子需要一个立方体来表示初始条件，5个振子则需要一个四维超立方体来表示，而n个振子则需要n–1维的超立方体来表示。这听起来令人难以置信，但如果你尝试去描绘它的话，它确实如此。但是在数学形式上，处理所有维度的方法都是一样的，并不存在新的困难。所以，我选择了继续关注3个振子的情形，它包含了所有的主要思想。
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下一步是将动力学状态（即系统随时间的演化）转化成为我们正在绘制的图形框架。我们的目标是预测系统在给定振子B和C的初始条件下，最终是否会同步。
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你可以想象一下我们让系统运行后会发生什么。所有振子都朝向阈值上升，然后发射，最终回到零位；它们也同样会对其他振子的刺激做出反应。为了去除冗余的信息，我们再次利用频闪法，让系统在黑暗中运行，直到下一次振子A发射后回到零位，振子B和C做出反应。然后打开闪光灯，用照片记录下B和C的新位置。
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在几何图形中看来，正方形中的旧点就像刚刚跳跃到了一个新点，即B和C更新后的电压。换句话讲，系统的动力学演化等同于一次转变，即把正方形中任意给定的点转移到新的一点，转移的依据是一些复杂的规则，取决于充电曲线的形状和刺激的大小。