1701063540
威森弗尔德和他的合作者清楚，负载的电特性（阻碍电流的方式）很可能是至关重要的。没有负载，结点永远不会同步，它们甚至无法感受到彼此的电子振荡。最简单的负载特性类似于电阻，通过的电流与它两端的电压成正比，或者它的特性可能更像电容（通交流、隔直流）或电感（与电容相反，通直流、隔交流）。在一般情况下，负载可能涉及三种阻抗的组合，根据不同的强度加权，有很多种选择。
1701063541
1701063542
通过对上述多种情况进行计算机模拟，三位科学家绘制出了同步状态的稳定性特征，了解了哪种负载可以最好地同步阵列。但是他们同样也碰到了预料之外的东西，这些东西引人注目、难以忽视。当阵列不同步时，它们通常会陷入一种完全不同的秩序中：所有的结点以相同的周期振荡，但都竭力保持在步调最不一致的状态，仿佛它们互相极力排斥。威森弗尔德团队称这种奇怪的组织模式为反相状态，后来又被称为伸展状态。
1701063543
1701063544
对于两个结点而言，伸展状态就像惠更斯所观察到的钟摆同步时的现象：钟摆以相同的速率摆动，但两者整整相差半个周期。一个发“嘀”声，同时另一个发“嗒”声。对于两个以上的结点，伸展状态将周期划分为相等的部分。如果有10个结点，它们将执行相同的动作，彼此相隔1/10个周期。它们全都按照相同的方式运动，彼此错开相同的时间。我们很想将这种群体行为想象为优雅的舞蹈，在阵列中荡漾的波，但这种想象是一种误导。波不一定必须从一个结点传递到相邻的结点，它们可以按照任意次序传递。如果将电子振荡想象为机械振荡的话，那么伸展状态看起来会有点像一排跳舞的机器人，它们全都执行相同的一套动作，但在空间上是任意排列的：一个机器人完成某个动作，然后队尾的机器人完成相同的动作，接下来任意一个位置的机器人也完成相同的动作。机器人可以以任意次序跳舞，每种排序都是一个有效的伸展状态。它们只在空间安排上有所不同，并不是执行的动作或彼此间的时间间隔不同。
1701063545
1701063546
阵列越大，序列的空间排列的可能性就越多。数量的增长极为迅速，甚至比指数增长更快，例如5个结点有24种伸展状态，10个结点有32 680种伸展状态。威森弗尔德认为，这种爆炸性的增长可能会为未来的约瑟夫森计算机提供存储器体系的结构基础，每个存储器可以被存储为一个不同的伸展状态。相比于0和1的静态集合，伸展状态将以一种动态模式进行编码，即阵列中电子运动的螺旋舞。神经科学家认为，我们对气味的记忆就与之类似，此时的振子是大脑嗅球中的神经元，不同的激发方式编码不同的气味。
1701063547
1701063548
通过仅仅几个结点，你就可以制造一个巨大的存储器，想要多大就有多大。但这里有一个问题：为了让方案有效运转，每个状态都必须是稳定的，以阻止电路中的随机噪声引起的状态变化。现在的问题就变成了，伸展状态是稳定的吗？它们的稳定性如何取决于负载？当时的威森弗尔德还无法用数学的方法解决这个问题。更重要的是，他意识到自己仍然缺乏全局性理解。除了同步状态和伸展状态，还会有哪种状态呢？它们如何组成一个整体？威森弗尔德的目标野心勃勃：对于任意数量串联的结点以及与阵列并联的任意类型的负载，他都要去了解其所有可能的群体行为。
1701063549
1701063550
◎ ◎ ◎
1701063551
1701063552
1990年，当我在得克萨斯的一次会议上遇到威森弗尔德时，立即产生了一种亲切感。我们年龄相仿，具有相似的背景和科学志趣，而且我们发现在一起时双方都很开心。他向我介绍了他对约瑟夫森结阵列问题的观点，我当即感觉我们在一起工作或许会很有趣。威森弗尔德或许对这件莫大的乐事感到有些纠结，特地向我说明了这项工作的科学应用前景（如果有人问你为什么要做这项工作，你应该严肃回答自己的理由）。但老实说，应用不是我们对这些阵列感兴趣的真正原因，驱动我们的是纯粹的好奇心，是解决美丽耦合振子系统的数学问题所带来的一种纯粹的快乐。
1701063553
1701063554
尤其是，这个方程组本身就有着令人陶醉之处。每个结点之间的耦合似乎都是相同的，尽管在物理上它们是串联的，就像链条中的环形连接，但方程使它们看起来更像是多对多连接的。这让我备感惊诧和惊喜。通过先前对佩斯金的心脏细胞模型以及温弗里和藏本由纪的生物振子模型的研究，我已经熟悉了这种怪异的、超对称的连接。在那些设置中，多对多的耦合单纯是为了便于研究。没有人知道正确的方程组，大家自然都从最简单的例子开始。当然，真正的心脏细胞和萤火虫与近邻个体的相互作用要远强于远处的个体。
1701063555
1701063556
当与先前相同的平等主义耦合出现在约瑟夫森结的方程组中时，我机警地点点头。“不，不，”威森弗尔德告诉我，“确实是那样。多对多耦合在这里完全正确，它直接来自电路方程。方程的原理是，当结点串联时，每个结点上流过的电流大小相等，就像一队救火队员传递的水一样。”威森弗尔德答应会议结束后给我写一封长信，记录下所有的细节。
1701063557
1701063558
在我打开信封之前，我便从他写地址的笔迹知道，和他在一起工作会很有趣。他的笔迹优雅、高低起伏，清晰而又奇形怪状。经历了多年学生考试阅卷工作的我总结出了一套业余的笔迹分析方法，屡试不爽：如果所有答案都用紧密细小的字母书写，像机器一般完美，仿佛打字机打出来的一般，那么这名学生一定是班中的顶尖学生。顺便一提，这条规则对凌乱的字迹则不起作用。笔迹潦草的学生有可能一塌糊涂，有可能才华横溢，也有可能处于二者之间的任何位置。但优美的笔迹本身就是个好现象。
1701063559
1701063560
威森弗尔德建议我们从最理想化的可能问题开始：两个相同的约瑟夫森结串联，由恒定电流驱动，假设负载是一个电阻，每个结点中只有两条路径。（对于某些类型的结点，第三条路径——位移电流，可以忽略，这是一个不错的取舍。）
1701063561
1701063562
这些简化的优势在于，我们可以通过绘制普通的二维图片将系统的动力学特性可视化。在任何给定的瞬间，每个结点都有明确的相位，就像快照中的钟摆歪在了某个角度上。通过水平绘制一个相位，竖直绘制另一个相位，我们便可以将所有可能的组合表现为正方形中的点，任意一个方向都有360度可能的相位，这个正方形可以被称为系统的“状态空间”。它有一个有趣的几何特性，让人联想起一款老式电脑游戏，一艘宇宙飞船从屏幕右边起航，然后神奇地出现在了左边，撞到底部后又从上边出现。约瑟夫森结阵列的状态空间也拥有这种神奇的特性，因为相位360度和0度没什么区别（就像一个垂直的钟摆，你转动它旋转了一周后，它仍是垂直的）。由于正方形的左右边缘对应相同的物理状态，数学家们便想象它们无缝连接在一起，就像你把一张纸卷成一个圆柱体，把边缘粘在一起。此外，顶部和底部边缘同样也是相同的，所以它们也应该连在一起，这意味着圆柱体弯曲成了圆环状，形成了一个圆环面（见图6-1）。
1701063563
1701063564
1701063565
1701063566
1701063567
图6-1 串联约瑟夫森结的二维示意图
1701063568
1701063569
结论是，这个最简单的约瑟夫森结阵列的状态空间相当于一个圆环的表面。环面上的每一个点都对应阵列的电气状态，反之亦然。随着时间的推移，阵列的状态时刻都在变化，圆环面上的对应点平滑地过渡，像一粒尘埃轻轻滑过表面。这个假想的流谱——它的漩涡和回流、静止和奔流，都是阵列固有的电路方程。鉴于当前相位的数值，方程决定了它们将会在下一个瞬间如何变化。
1701063570
1701063571
方程组是非线性的，我们无法寄希望于明确解决它，但我们认为，推断流谱整体的定性特征或许是可能的。例如，停滞点（圆环面上微粒卡住的位置）对应阵列的电平衡状态，所有的电流和电压不随时间变化，这种状态的稳定性可以通过想象微粒被推离进行评估；如果它总是自动返回，仿佛被吸入了排水管，那么这种平衡状态就是稳定的。或者假设流谱包含一个封闭的回环，微粒可以在漩涡中循环不休，经过一定时间后总是重新回到它的起始位置。这种循环意味着一种周期性重复，即阵列中的电子振荡。威森弗尔德和我知道这样的循环是必然发生的，但我们完全不了解它的稳定性，不知道它是否会把附近的状态带入漩涡。
1701063572
1701063573
最简单的循环是同步振荡，两个结点的相位在任何时刻都是相等的。相应的轨迹沿着正方形的主对角线流动，自左下角出发，然后到东北方，直至从右上角离开，随后立即返回左下角（因为360度和0度对应同一相位）。在正方形上看，轨迹似乎从一角不连续地跳跃到了另一角，但在表现系统真正状态空间的圆环面上看，则并没有显示出跳跃，这种过渡更像是无缝的。
1701063574
1701063575
我们在分析整体流谱时震惊地发现，每条轨迹都在以类似的方式重复自己。每个解都是周期性的。从表面判断，这可能并不令人十分惊讶。至少在中学教科书中，没有假想的轴承，没有空气阻力，钟摆的来回摇摆就是永恒重复的。在这种情况下，无论你从多大的角度释放钟摆都不重要，无论多大角度，它都会一直摇摆下去。其他“守恒”的机械系统也是如此，在假想的理想化条件中，不存在一切形式的摩擦和机械损失，机械能完全守恒。但这也正是约瑟夫森结阵列的周期性运转状态对我们来说如此令人震惊的原因——阵列中存在摩擦。在电气术语中，摩擦就意味着电阻。结点自身存在电阻（对应于正常电流的通路），负载也是一个电阻。但不知何故，约瑟夫森结阵列却是一个守恒系统。
1701063576
1701063577
威森弗尔德和我推断这种矛盾的状态可能是只研究两个结点的人为结果。对于两个以上的结点，也许这个系统可以张开它的两翼，表现出更具代表性的行为范围。我有一些古老的计算机程序，用于早期研究生物振子的工作。我曾经用其中一个程序来模拟温弗里和藏本由纪的模型，数百个彩色的点围绕着一个圆形轨道运行；还有一个程序用来模拟佩斯金的心脏细胞模型，事实证明，这十分有助于当振子释放时对其进行频闪拍照。所有这些程序都可以适用于分析约瑟夫森结阵列方程组。如今，随着威森弗尔德回到佐治亚理工学院，我回到麻省理工学院，分工就成了情理之中的事情。我们决定，由威森弗尔德和他的学生郭曾（Kwok Tsang）负责对两个以上的结点进行数学分析，而我则负责尝试对其进行计算机模拟。
1701063578
1701063579
◎ ◎ ◎
1701063580
1701063581
10个结点似乎是一个相对较好的起点：这个数字足够小，在可控范围内；但又太大，不太容易观察。现在的轨迹不是在正方形或圆环表面上流动，而是在一个十维空间内流动。我的优势在于，我的计算机程序能够快速大量地处理非线性方程，一次向前推进一小步，然后将结点不断变化的相位显示为围绕圆形轨道运行的10个点。最终图像令人眼花缭乱，因为10个点不停地旋转着，你感受到的完全是一种铺天盖地的旋转。感知相对运动中的逐步调整尤其困难，而频闪的把戏可以给我们些许宽慰。当一个预先指定的结点达到特定的相位时，假想的闪光灯开启，可以同时照亮其他9个结点的相位。这样便不再受旋转之苦，但仍有9个点需要同时观察。追寻9个点的运行轨迹相当于描绘一个九维空间。
1701063582
1701063583
人脑无法轻而易举地想象三维以上的空间，计算机的平面屏幕将显示的维度进一步限定在了二维，所以我需要找一些方法来扩展自己的思维，以了解这个九维空间里发生的事情。摆弄了一会儿后，我最终决定采用多面板方式，就像20世纪60年代的那些虚情假意的电影，在多个画面中分别显示不同的演员。一个面板描绘2号结点和3号结点的相位，每个结点各用一个轴表示。其余的面板分别显示结点3和4、4和5等的相位。我们指定1号结点触发频闪：每当它越过指定的起跑线（其周期中的一个特定阶段），计算机便在每个面板中绘制出对应的点，代表那个瞬间的相位。结果就是，计算机屏幕上充满了面板，每个面板随着每次频闪的闪光不断更新。
1701063584
1701063585
在通过这些新假想的眼睛观察系统之前，我需要预测一下自己可能看到的东西。最坏的情况是，如果方程组的解非常复杂，这些点会在每个面板上疯狂地跳来跳去，逐渐填充为模糊的一团。如果它们呈现出一定结构特征的话，那么这一团可能是花边状的，内部有条纹。再如果，事情只是像两个结点那样简单，那么每个点最终都会在同一位置着陆，在计算机屏幕上钻一个洞，并不离开它起始的像素点。这无休止的重复表明，所有的轨迹仍然是周期性的（因为对于一个周期性的解，每当结点1越过起跑线触发闪光，结点2和结点3总是会出现在适当的地方，所有其他的面板也是如此）。
1701063586
1701063587
启动计算机开始模拟，我紧紧盯着屏幕。过了一段时间，每个面板上同时出现了一个点，意味着结点1已经完成了1圈，触发了闪光。然后是下一圈，再下一圈。在每个面板中，每个点都持续接近初始点，但又并不完全在初始点的上方。这十分有趣。这些毫厘之间的误差意味着10个结点的轨迹不是周期性的，这也证实了我们当初的怀疑：两个结点太特殊了，无法令人信服地展现出更庞大阵列中的特征。
1701063588
1701063589
随着计算机的继续模拟，不同的模式显现了。点的轨迹呈现出了一条曲线，而不再是一团，它们的运动一丝不苟，限制在一个极细的路径中，路径不断延伸，也不断被填充。所有的面板都显示出了相同基本结构的不同版本：一个带有圆角的三角形回路。我担心自己只是偶然间选择了一个异常的起点，因此又尝试了许多其他的初始条件。在看到结果时，我大吃一惊，原来每个起点都会产生自己的圆角三角形，所有这些分离的三角形都可以整齐地嵌套在彼此的内部，就像俄罗斯套娃一般。