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图6-1 串联约瑟夫森结的二维示意图
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结论是，这个最简单的约瑟夫森结阵列的状态空间相当于一个圆环的表面。环面上的每一个点都对应阵列的电气状态，反之亦然。随着时间的推移，阵列的状态时刻都在变化，圆环面上的对应点平滑地过渡，像一粒尘埃轻轻滑过表面。这个假想的流谱——它的漩涡和回流、静止和奔流，都是阵列固有的电路方程。鉴于当前相位的数值，方程决定了它们将会在下一个瞬间如何变化。
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方程组是非线性的，我们无法寄希望于明确解决它，但我们认为，推断流谱整体的定性特征或许是可能的。例如，停滞点（圆环面上微粒卡住的位置）对应阵列的电平衡状态，所有的电流和电压不随时间变化，这种状态的稳定性可以通过想象微粒被推离进行评估；如果它总是自动返回，仿佛被吸入了排水管，那么这种平衡状态就是稳定的。或者假设流谱包含一个封闭的回环，微粒可以在漩涡中循环不休，经过一定时间后总是重新回到它的起始位置。这种循环意味着一种周期性重复，即阵列中的电子振荡。威森弗尔德和我知道这样的循环是必然发生的，但我们完全不了解它的稳定性，不知道它是否会把附近的状态带入漩涡。
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最简单的循环是同步振荡，两个结点的相位在任何时刻都是相等的。相应的轨迹沿着正方形的主对角线流动，自左下角出发，然后到东北方，直至从右上角离开，随后立即返回左下角（因为360度和0度对应同一相位）。在正方形上看，轨迹似乎从一角不连续地跳跃到了另一角，但在表现系统真正状态空间的圆环面上看，则并没有显示出跳跃，这种过渡更像是无缝的。
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我们在分析整体流谱时震惊地发现，每条轨迹都在以类似的方式重复自己。每个解都是周期性的。从表面判断，这可能并不令人十分惊讶。至少在中学教科书中，没有假想的轴承，没有空气阻力，钟摆的来回摇摆就是永恒重复的。在这种情况下，无论你从多大的角度释放钟摆都不重要，无论多大角度，它都会一直摇摆下去。其他“守恒”的机械系统也是如此，在假想的理想化条件中，不存在一切形式的摩擦和机械损失，机械能完全守恒。但这也正是约瑟夫森结阵列的周期性运转状态对我们来说如此令人震惊的原因——阵列中存在摩擦。在电气术语中，摩擦就意味着电阻。结点自身存在电阻（对应于正常电流的通路），负载也是一个电阻。但不知何故，约瑟夫森结阵列却是一个守恒系统。
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威森弗尔德和我推断这种矛盾的状态可能是只研究两个结点的人为结果。对于两个以上的结点，也许这个系统可以张开它的两翼，表现出更具代表性的行为范围。我有一些古老的计算机程序，用于早期研究生物振子的工作。我曾经用其中一个程序来模拟温弗里和藏本由纪的模型，数百个彩色的点围绕着一个圆形轨道运行；还有一个程序用来模拟佩斯金的心脏细胞模型，事实证明，这十分有助于当振子释放时对其进行频闪拍照。所有这些程序都可以适用于分析约瑟夫森结阵列方程组。如今，随着威森弗尔德回到佐治亚理工学院，我回到麻省理工学院，分工就成了情理之中的事情。我们决定，由威森弗尔德和他的学生郭曾（Kwok Tsang）负责对两个以上的结点进行数学分析，而我则负责尝试对其进行计算机模拟。
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10个结点似乎是一个相对较好的起点：这个数字足够小，在可控范围内；但又太大，不太容易观察。现在的轨迹不是在正方形或圆环表面上流动，而是在一个十维空间内流动。我的优势在于，我的计算机程序能够快速大量地处理非线性方程，一次向前推进一小步，然后将结点不断变化的相位显示为围绕圆形轨道运行的10个点。最终图像令人眼花缭乱，因为10个点不停地旋转着，你感受到的完全是一种铺天盖地的旋转。感知相对运动中的逐步调整尤其困难，而频闪的把戏可以给我们些许宽慰。当一个预先指定的结点达到特定的相位时，假想的闪光灯开启，可以同时照亮其他9个结点的相位。这样便不再受旋转之苦，但仍有9个点需要同时观察。追寻9个点的运行轨迹相当于描绘一个九维空间。
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人脑无法轻而易举地想象三维以上的空间，计算机的平面屏幕将显示的维度进一步限定在了二维，所以我需要找一些方法来扩展自己的思维，以了解这个九维空间里发生的事情。摆弄了一会儿后，我最终决定采用多面板方式，就像20世纪60年代的那些虚情假意的电影，在多个画面中分别显示不同的演员。一个面板描绘2号结点和3号结点的相位，每个结点各用一个轴表示。其余的面板分别显示结点3和4、4和5等的相位。我们指定1号结点触发频闪：每当它越过指定的起跑线（其周期中的一个特定阶段），计算机便在每个面板中绘制出对应的点，代表那个瞬间的相位。结果就是，计算机屏幕上充满了面板，每个面板随着每次频闪的闪光不断更新。
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在通过这些新假想的眼睛观察系统之前，我需要预测一下自己可能看到的东西。最坏的情况是，如果方程组的解非常复杂，这些点会在每个面板上疯狂地跳来跳去，逐渐填充为模糊的一团。如果它们呈现出一定结构特征的话，那么这一团可能是花边状的，内部有条纹。再如果，事情只是像两个结点那样简单，那么每个点最终都会在同一位置着陆，在计算机屏幕上钻一个洞，并不离开它起始的像素点。这无休止的重复表明，所有的轨迹仍然是周期性的（因为对于一个周期性的解，每当结点1越过起跑线触发闪光，结点2和结点3总是会出现在适当的地方，所有其他的面板也是如此）。
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启动计算机开始模拟，我紧紧盯着屏幕。过了一段时间，每个面板上同时出现了一个点，意味着结点1已经完成了1圈，触发了闪光。然后是下一圈，再下一圈。在每个面板中，每个点都持续接近初始点，但又并不完全在初始点的上方。这十分有趣。这些毫厘之间的误差意味着10个结点的轨迹不是周期性的，这也证实了我们当初的怀疑：两个结点太特殊了，无法令人信服地展现出更庞大阵列中的特征。
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随着计算机的继续模拟，不同的模式显现了。点的轨迹呈现出了一条曲线，而不再是一团，它们的运动一丝不苟，限制在一个极细的路径中，路径不断延伸，也不断被填充。所有的面板都显示出了相同基本结构的不同版本：一个带有圆角的三角形回路。我担心自己只是偶然间选择了一个异常的起点，因此又尝试了许多其他的初始条件。在看到结果时，我大吃一惊，原来每个起点都会产生自己的圆角三角形，所有这些分离的三角形都可以整齐地嵌套在彼此的内部，就像俄罗斯套娃一般。
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这种结构令人难以置信。这意味着方程组包含了一个秘密的对称，一个可能引发这种秩序的隐藏的规律。我从来没有见过这样的东西。每条轨迹都有着广阔到无法想象的十维景观，并伴随着潜在的上、下、前、后、左、右徘徊，还有7个甚至无法用文字描述的维度，然而它们却没有做任何事情，这就像走在钢丝上永远不会坠落一样不可能存在。某些事物将方程的解限制在了全部可能性中的一部分，它甚至与阵列中的结点数量无关：20个、50个、100个……所有模拟轨迹都服从相同的俄罗斯套娃模型的内嵌三角形图案。当我把这个消息告诉威森弗尔德时，他同样目瞪口呆。只有两种可能，不是计算机在捉弄我们，就是约瑟夫森结阵列的数学问题中存在着前所未有东西。
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在接下来的四年里，我们中的许多人变得痴迷于这个谜团。威森弗尔德和他的学生史蒂夫·尼科尔斯（Steve Nichols）对更广阔的阵列进行了计算机模拟，持续检测这种惊人秩序的相同迹象。北亚利桑那大学数学家吉姆·斯威夫特，想出了一个巧妙的近似方程组，以处理这些阵列的动力学特性。他用所谓的平均方程代替了原方程，平均方程更容易分析，但仍保留了原方程的本质。像所有解谜者一样，当从正面下手难以解决问题的时候，数学家经常求助于近似，至少一开始是这样。通过简化问题，斯威夫特打开了对阵列进行数学分析的大门。在他的带领下，我的学生渡边真也发现了潜伏在斯威夫特的平均方程的解中的俄罗斯套娃结构；随后，借助出色的分析，渡边真也继续证明了大部分相同的结构都潜伏在原始的、非平均电路方程中。结果，渡边真也发现了一个新的“可积系统”，一个数学王国中的罕见明珠。它没有特定的应用，至少没有我们所了解的应用。在我看来，这更像是在海滩上找到了一个美丽的贝壳。
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对于由好奇心驱动的研究，除了它带来的乐趣以外，最美妙的事情之一就是它经常有意想不到的副产品诞生。斯威夫特和渡边真也开发的技术让我们第一次可以了解更现实条件下（各个结点不完全相同）的约瑟夫森结阵列的动力学特性。工程师们向来无法分析无序阵列，虽然他们清楚地知道真正的结点的电特性总是存在几个百分点的差异，因为目前的制造技术无法让它们更加一致。结点的差异限制了它们在阵列中的效能，因为它对工程师在探索过程中进行的相关操作产生了抵制。当这样的阵列由外部电流驱动时，它们就会变化无常：如果电流低于某阈值时，它们就会保持不相干，所有结点都在随机的相位振荡，以至于它们的电压相互抵消；当电流超过阈值时，阵列才会开始自发同步。为了试着理解这种行为，威森弗尔德、我与佩雷·科利特（Pere Colet）合作使用斯威夫特的平均方程将方程组转化成了一种更易于处理的形式。
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现在，摆在我们面前的是藏本由纪的模型。如《2001：太空漫游》中谜一般的巨石埋在土壤之下，等待着猿人找到它一般，我们也需要从藏本由纪的模型中召唤出通往同步的关键节点。直到现在，藏本由纪模型仍被认为只不过是个方便的抽象概念而已，是了解不同的振子群体在何种情况下，以及如何自发同步的最简单的方法。它诞生于纯粹的想象，被编造成了一幅有关生物振子的漫画：蟋蟀、萤火虫、心脏起搏细胞。现在，它又在超导约瑟夫森结的动力学特性中被发现了。这让我想起了爱因斯坦谈到的那种美妙感觉，识别出了隐藏的统一的美妙感觉。
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在我们发表了研究结果不久后，我收到了一封从日本京都寄来的信，藏本由纪用优美的笔迹写道：“我很惊讶，也真的很高兴。我完全没想到我的简化模型可以在实际的物理系统中找到例子。”
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藏本由纪模型是一个一直在等待问题的解决方案。它从未打算作为任何事物的文字描述，只是作为探索最简形式的自发秩序而产生的一个理想化模型。然而，新发现的它与约瑟夫森结阵列之间的联系立即解释了为什么这些器件会突然同步。这种相变本质上与温弗里在他的生物振子模型中发现的相变相同，藏本由纪后来优雅地将其构筑到了他的可解模型中。数年前，研究约瑟夫森结的专家已经在他们的计算机模拟中看到了这种转变，但并没有理解它的理论基础。换句话说，这种转变从来没有引起人们的注意（阐明了一句格言：你永远不应该相信一个未经理论证实的事实）。
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自1996年以来，藏本由纪模型已经出现在了其他物理环境中，从耦合激光器阵列到被称为中微子的细小的亚原子粒子构成的假想振子。我们可能已经瞥见了同步本质中深刻的统一性，无论是否存在有待发现的实际应用。鉴于很多疾病与同步和同步被破坏相关（癫痫、心律失常、慢性失眠），又有很多装置依赖于同步（约瑟夫森结阵列和激光阵列、供电电网、全球定位系统），我们似乎可以断定，对于自发同步更深入的理解势必会产生实际效益。
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藏本由纪模型的广泛出现引发了一个问题，即为什么这个特殊的数学结构会如此普遍？说实话，它可能并不是一个普遍现象。我专注于它，因为它是让我们可以很好地理解自发同步的唯一例子。在理论上，我们可以说明，只有当四个特定条件满足时藏本由纪模型才会出现，否则就不会出现。第一，问题系统必须建立于大量的组件之上，其中的每一个都是自激振子。这是一个强大的限制条件，单个元素必须满足极其简单的动力学特性：遵循着标准周期的纯粹的节律性，没有混沌、湍流以及任何复杂的东西，只有重复的运动。第二，振子必须是弱耦合的。从这个意义上讲，每个振子的状态特征可以单独通过相位来描述。如果耦合强大到足以明显扭曲任何振子的振幅，那么藏本由纪模型便不适用。第三，也是条件最严格的，每个振子之间的耦合强度必须相同。自然界中很少有系统会满足这一点。通常情况下，邻近的振子之间的耦合最强，或者由相互影响的网络定义的虚拟邻近的集合之间的耦合最强。第四，振子必须是几乎相同的，其特性散布应该与它们之间微弱的耦合强度大致相同。
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鉴于所有这些条件，藏本由纪模型及其相关物的动力学特性似乎开始变得显而易见。然而，突发的同步现象仍然令人吃惊。即使在同步出现后，我们也经常缺乏对它的直觉，特别是关于同步是如何突然自发发生的，就像千禧桥惨案中表现得那样。
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