1701065215
1701065216
1701065217
1701065218
▲图2.5 倍增的兔群
1701065219
1701065220
很显然，如果不受限制，兔子的数量会每年翻番（这意味着兔子很快会接管这个星球，乃至太阳系和整个宇宙，不过我们暂时还不用担心）。
1701065221
1701065222
这是一个线性系统： [19] 整体等于部分之和。我想让它们做什么呢？我们先将4只兔子分开放到两个岛上，每个岛上2只。然后让兔子继续繁殖。图2.6显示了繁殖两年的情形。
1701065223
1701065224
两边都是每年翻番。不管是哪一年，如果你把两个岛的兔子加起来，你得到的数量还是与没分开时一样多。
1701065225
1701065226
如果以当年的兔子数量为横坐标，以次年的兔子数量为纵坐标，将各年的数据标上去，你将会得到一条直线（图2.7）。这就是为什么称之为线性系统。
1701065227
1701065228
1701065229
1701065230
1701065231
▲图2.6 倍增的兔群，分开在两个岛上
1701065232
1701065233
但是如果考虑到种群数量增长所受的限制，情况会怎样呢？这会使得增长规则变为非线性的。假定前面的规则仍然成立，每对兔子每年生4只小兔子然后死去。不过现在有些小兔子会因为太过拥挤没有繁殖就死去。研究种群数量的生物学家常用逻辑斯蒂模型 [20] （Logistic model）描述这种情形下群体数量的增长。这个模型以一种简化方式描述群体数量的增长。你设定好出生率、死亡率（由于种群数量过多导致的死亡概率）以及最大种群承载能力（栖息地所能承载的种群数量上限），然后将这一代的种群数量代入逻辑斯蒂模型，就能算出下一代的种群数量。在这里我不给出逻辑斯蒂模型的具体形式 [21] （注释中有），你可以在图2.8中看到它的变化情况。
1701065234
1701065235
1701065236
1701065237
1701065238
▲图2.7 线性模型中当年与次年种群数量的关系曲线
1701065239
1701065240
举个简单的例子，设出生率为2，死亡率为0.4，承载力为32，第一代有20只兔子。用逻辑斯蒂模型算出第二代为12只。将新的种群数量再代进去，又可以得出第三代仍然是12只兔子存活。此后的兔子数量将一直维持在12只。
1701065241
1701065242
1701065243
1701065244
1701065245
▲图2.8 根据逻辑斯蒂模型得出的当年与次年种群数量的关系曲线，出生率为2，死亡率为0.4，承载力为32。如果取其他参数，曲线仍然是抛物线
1701065246
1701065247
如果将死亡率降到0.1（其他参数不变），会有些有趣的事情发生。根据模型可以得出第二代为14.25只兔子，第三代则为15.01816只。
1701065248
1701065249
等一下！怎么会有0.25只兔子，还有稀奇古怪的0.01816只？在真实世界中显然是不可能的，不过这只是模型，允许兔子数量为小数。这样在数学上简单些，而且预测的兔子数量仍然大致符合实际。所以这里我们无须为此担心。
1701065250
1701065251
将算出的种群数量再代进去计算下一代的种群数量，这个不断重复的过程即所谓的“对模型进行迭代”。
1701065252
1701065253
如果将死亡率恢复成0.4，承载力翻一倍变成64，结果又会怎样呢？根据模型我们发现，从20只兔子出发，9年后种群数量会变为接近24的一个值，然后停在那里。
1701065254
1701065255
你可能注意到了这些例子中的种群变化比前面单纯每年翻番的情形复杂得多。这是因为引入了种群数量过多导致的死亡，模型变成了非线性的。其图形不再是直线，而是抛物线（图2.8）。逻辑斯蒂模型中的群体数量变化不再简单等于部分之和。为了说明这一点，我们将20只兔子分为两群，每群10只，再对各群进行迭代（参数同前面一样，出生率为2，死亡率为0.4）。图2.9为迭代结果。
1701065256
1701065257
1701065258
1701065259
1701065260
▲图2.9 分到两个岛上的兔子，逻辑斯蒂模型
1701065261
1701065262
第一年，前面是20只兔子只剩下12只，而分成两群后，每群有11只，总共22只。整体的变化不再等于各部分的变化之和。
1701065263
1701065264
复杂 [:1701064725]