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我给出逻辑斯蒂映射的方程是为了向你展示它有多简单。事实上，它是能抓住混沌本质——对初始条件的敏感依赖性——的最简单的系统之一。1971年，数学生物学家梅（Robert May）在著名的《自然》杂志上发表了一篇文章 [24] 分析逻辑斯蒂映射，引起了种群生物学家的关注。在此之前也有一些数学家对其进行了详细分析，包括乌拉姆（Stanislaw Ulam）、冯·诺依曼（John von Neumann）、梅特罗波利斯（Nicholas Metropolis）、保罗·斯坦（Paul Stein）和米隆·斯坦（Myron Stein）。 [25] 但它真正变得有名是在20世纪80年代，物理学家费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum）利用它展示了一大类混沌系统的共性。由于其显然的简单性和深厚的历史，它成了介绍动力系统理论和混沌的一些主要概念的完美载体。
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如果我们让R的值变化，逻辑斯蒂映射就变得非常有趣。我们先从R=2开始。x的初始值x0也必须介于0和1之间，姑且设为0.5。将它们代入逻辑斯蒂映射，得出x1为0.5。同样，x2也是0.5，后面也一样。因此，如果R=2，种群初始值为最大值的一半，以后就会一直不变。
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现在让x0=0.2。你可以自己用计算器算一下（我用的一个最多显示7位小数的计算器）。结果更有意思了：
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x0=0. 2
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x1=0. 32
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x2=0. 4352
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x3=0. 4916019
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x4=0. 4998589
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x5=0. 5
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x6=0. 5
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……
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最终结果是一样的（永远是xt=0.5），但是迭代了5次才得到。
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用图可以看得更清楚。图2.10是xt在前20步的值的图形。我用线将这些点连起来了，这样可以更清楚地看到，随着时间推移，x迅速收敛到0.5。
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▲图2.10 R=2，x0=0.2时逻辑斯蒂映射的变化情况
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如果x0很大，比如0.99，又会怎样呢？图2.11显示了得到的图形。
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▲图2.11 R=2，x0=0.99时逻辑斯蒂映射的变化情况
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最终的结果还是一样的，不过过程要长一些，波动也更剧烈。
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你可能已经猜到了：只要R=2，xt最终都会到达0.5，并停在那里。0.5正是所谓的不动点（fixed point）：到达这一点所花的时间依赖于出发点，但是一旦你到达了那里，你就会保持不动。如果你愿意，可以让R=2.5，再试一下，同样你会发现系统总是到达一个不动点，不过这次不动点是0.6。
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R=3. 1的情形更有趣。逻辑斯蒂映射的变化更加复杂了。图2.12是x0=0.2时的图形。
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