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1701065274 我给出逻辑斯蒂映射的方程是为了向你展示它有多简单。事实上,它是能抓住混沌本质——对初始条件的敏感依赖性——的最简单的系统之一。1971年,数学生物学家梅(Robert May)在著名的《自然》杂志上发表了一篇文章  [24]  分析逻辑斯蒂映射,引起了种群生物学家的关注。在此之前也有一些数学家对其进行了详细分析,包括乌拉姆(Stanislaw Ulam)、冯·诺依曼(John von Neumann)、梅特罗波利斯(Nicholas Metropolis)、保罗·斯坦(Paul Stein)和米隆·斯坦(Myron Stein)。  [25]  但它真正变得有名是在20世纪80年代,物理学家费根鲍姆(Mitchell Feigenbaum)利用它展示了一大类混沌系统的共性。由于其显然的简单性和深厚的历史,它成了介绍动力系统理论和混沌的一些主要概念的完美载体。
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1701065276 如果我们让R的值变化,逻辑斯蒂映射就变得非常有趣。我们先从R=2开始。x的初始值x0也必须介于0和1之间,姑且设为0.5。将它们代入逻辑斯蒂映射,得出x1为0.5。同样,x2也是0.5,后面也一样。因此,如果R=2,种群初始值为最大值的一半,以后就会一直不变。
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1701065278 现在让x0=0.2。你可以自己用计算器算一下(我用的一个最多显示7位小数的计算器)。结果更有意思了:
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1701065280 x0=0. 2
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1701065282 x1=0. 32
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1701065284 x2=0. 4352
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1701065286 x3=0. 4916019
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1701065288 x4=0. 4998589
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1701065290 x5=0. 5
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1701065292 x6=0. 5
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1701065296 最终结果是一样的(永远是xt=0.5),但是迭代了5次才得到。
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1701065298 用图可以看得更清楚。图2.10是xt在前20步的值的图形。我用线将这些点连起来了,这样可以更清楚地看到,随着时间推移,x迅速收敛到0.5。
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1701065303 ▲图2.10 R=2,x0=0.2时逻辑斯蒂映射的变化情况
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1701065305 如果x0很大,比如0.99,又会怎样呢?图2.11显示了得到的图形。
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1701065310 ▲图2.11 R=2,x0=0.99时逻辑斯蒂映射的变化情况
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1701065312 最终的结果还是一样的,不过过程要长一些,波动也更剧烈。
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1701065314 你可能已经猜到了:只要R=2,xt最终都会到达0.5,并停在那里。0.5正是所谓的不动点(fixed point):到达这一点所花的时间依赖于出发点,但是一旦你到达了那里,你就会保持不动。如果你愿意,可以让R=2.5,再试一下,同样你会发现系统总是到达一个不动点,不过这次不动点是0.6。
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1701065316 R=3. 1的情形更有趣。逻辑斯蒂映射的变化更加复杂了。图2.12是x0=0.2时的图形。
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