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1701065303 ▲图2.10 R=2,x0=0.2时逻辑斯蒂映射的变化情况
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1701065305 如果x0很大,比如0.99,又会怎样呢?图2.11显示了得到的图形。
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1701065310 ▲图2.11 R=2,x0=0.99时逻辑斯蒂映射的变化情况
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1701065312 最终的结果还是一样的,不过过程要长一些,波动也更剧烈。
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1701065314 你可能已经猜到了:只要R=2,xt最终都会到达0.5,并停在那里。0.5正是所谓的不动点(fixed point):到达这一点所花的时间依赖于出发点,但是一旦你到达了那里,你就会保持不动。如果你愿意,可以让R=2.5,再试一下,同样你会发现系统总是到达一个不动点,不过这次不动点是0.6。
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1701065316 R=3. 1的情形更有趣。逻辑斯蒂映射的变化更加复杂了。图2.12是x0=0.2时的图形。
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1701065321 ▲图2.12 R=3.1,x0=0.2时逻辑斯蒂映射的变化情况
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1701065323 在这个例子中,x永远也不会停在一个不动点;它最终会在两个值(0.5580141和0.7645665)之间振荡。如果将前者代入方程,就会得到后者,反过来也是一样,因此振荡会一直持续下去。不管x0取什么值,最后都会形成这个振荡。这种最终的变化位置(无论是不动点还是振荡)被称为“吸引子”,这个说法很形象,因为任何初始位置最终都会“被吸引到其中”。
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1701065325 往上一直到R等于大约3.4,逻辑斯蒂映射都会有类似的变化:在迭代一些步骤后,系统会在两个不同的值之间周期振荡(最终的振荡点由R决定)。因为是在两个值之间振荡,系统的周期为2。
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1701065327 但是如果R介于3.4和3.5之间,情况又突然变了。不管x0取何值,系统最终都会形成在四个值之间的周期振荡,而不是两个。例如,如果R=3.49,x0=0.2,最终的结果就像图2.13那样。
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1701065332 ▲图2.13 R=3.49,x0=0.2时逻辑斯蒂映射的变化情况
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1701065334 x的值很快就开始在四个不同的值之间周期振荡(如果你想知道,它们分别大约是0.872,0.389,0.829和0.494)。也就是说,在3.4和3.5之间的某个R值,最终的振荡周期突然从2增到4。
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1701065336 在3.54和3.55之间的某个R值,周期再次突然倍增,一下跃升到8。在3.564和3.565之间的某个值周期跃升到16。在3.5687和3.5688之间周期又跃升到32。周期一次又一次倍增,前后R的间隔也越来越小,很快,在R大约等于3.569946时,周期已趋向于无穷。在此之前,逻辑斯蒂映射的变化大致都可以预测。如果R值给定,从任何x0点出发的最终长期变化都能预测得到:R小于3.1时会到达不动点,R介于3.1和3.4之间时会形成双周期振荡,等等。
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1701065338 但是当R等于大约3.569946时,x的值不再进入振荡,它们会变成混沌。  [26]  下面解释一下。将x0,x1,x2……的值组成的序列称为x的轨道。在产生混沌的R值,让两条轨道从非常接近的x0值出发,结果不会收敛到同一个不动点或周期振荡,相反它们会逐渐发散开。在R=3.569946时,发散还很慢,但如果将R设为4.0,我们就会发现轨道极为敏感地依赖于x0。我们先将x0设为0.2,对逻辑斯蒂映射进行迭代,得到一条轨道。然后细微地变动一下x0,让x0=0.2000000001,再对逻辑斯蒂映射进行迭代,得到第二条轨道。图2.14中的实心圆圈连成的实线就是第一条轨道,空心圆圈连成的虚线则是第二条轨道。
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1701065340 这两条轨道开始的时候很接近(非常接近,以至于实线轨道把虚线轨道都盖住了),但在大约30次迭代之后,它们明显分开了,很快就不再具有相关性。这就是“对初始条件的敏感依赖性”的由来。
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1701065342 我们已经看到有三种不同的最终状态(吸引子):不动点、周期和混沌(混沌吸引子有时候也称为“奇怪吸引子”)。吸引子的类型是动力系统理论刻画系统行为的一种方式。
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1701065344 我们再仔细来看看混沌行为到底有多不寻常。逻辑斯蒂映射极为简单,并且完全是确定性的:每个xt值都有且仅有一个映射值xt+1。然而得到的混沌轨道看上去却非常随机——事实上逻辑斯蒂映射还被用来在计算机中生成伪随机数  [27]  。因此,表面上的随机可以来自非常简单的确定性系统。
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1701065349 ▲图2.14 R=4.0时逻辑斯蒂映射的两条轨道:x0=0.2和x0=0.2000000001
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