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哥德尔的不完备性定理是从算术着手。他证明，如果算术是一致的，那么在算术中就必然存在无法被证明的真命题——也就是说，算术是不完备的。而如果算术是不一致的，那么就会存在能被证明的假命题，这样整个数学都会崩塌。
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▲图4.2 哥德尔（1906—1978）（照片由普林斯顿大学图书馆提供）
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哥德尔的证明很复杂。 [55] 不过直观上却很容易解释。哥德尔给出了一个数学命题，翻译成白话就是“这个命题是不可证的”。
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仔细思考一下。这个命题很奇怪，它居然谈论的是它自身——事实上，它说的是它不可证。我们姑且称它为“命题A”。现在假设命题A可证，那它就为假（因为它说它不可证），这就意味着证明了假命题——从而算术是不一致的。好了，那我们就假设命题A不可证，这就意味着命题A为真（因为它断言的就是自己不可证），但这样就存在不可证的真命题——算术是不完备的。因此，算术要么不一致，要么不完备。
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难以想象这个命题如何转换成用数学语言表述，但是哥德尔做到了——哥德尔证明的复杂和精彩之处就在此，在这里我们不去讨论。
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绝大多数数学家和哲学家都坚定地认为希尔伯特问题能被正面解决，这对他们是个沉重的打击。就像数学作家霍吉斯（Andrew Hodges）说的：“这是在研究中惊人的转折， [56] 因为希尔伯特曾以为他的计划将一统天下。对于那些认为数学完美而且无懈可击的人来说，这让人难以接受……”
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复杂 [:1701064738]
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图灵机和不可计算性
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哥德尔干净利落地解决了希尔伯特第一和第二问题，接着第三问题又被英国数学家图灵（Alan Turing，图4.3）干掉了。 [57]
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1935年，图灵23岁，在剑桥跟随逻辑学家纽曼（Max Newman）攻读研究生。纽曼向图灵介绍了哥德尔刚刚得出的不完备性定理。在理解哥德尔的结果之后，图灵发现了该如何解决希尔伯特的第三问题， ；判定问题，同样，他的答案也是“否” [58] 。
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图灵是怎么证明的呢？前面说过，判定问题问的是，是否有“明确程序”可以判定任意命题是否可证？“明确程序”指的是什么呢？图灵的第一步就是定义这个概念。沿着莱布尼茨在两个世纪以前的思路，图灵通过构想一种强有力的运算机器来阐述他的定义，这个机器不仅能进行算术运算，也能操作符号，这样就能证明数学命题。通过思考人类如何计算，他构造了一种假想的机器，这种机器现在被称为图灵机。图灵机后来成了电子计算机的蓝图。
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▲图4.3 图灵（1912—1954）（Photo Researchers公司版权所有©2003，经许可重印）
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复杂 [:1701064739]
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图灵机概述
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如图4.4所示，图灵机由三部分组成：
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1.带子，被分成许多方格（或“地址”），符号可以被写入其中或从中读出。带子两头都有无限长。
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2.可以移动的读写头，能从带子上读取符号或将符号写到带子上。在任何时候，读写头都处于一组状态中的一个。
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3.指示读写头下一步如何做的一组规则。
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▲图4.4 图灵机
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读写头开始处于特定的开始状态，并停在特定的格子上。每一步，读写头读取当前格子中的符号。然后读写头根据读取的符号和读写头的当前状态按照规则动作。规则决定读写头在当前格子中写入什么符号（替换当前符号）；读写头是向右还是向左移动或是停止不动；以及读写头的新状态是什么。如果读写头进入停机状态，机器就会停下来。
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图灵机的输入是机器启动之前写在带子上的符号集合。输出则是停机之后留在带子上的符号集。
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