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现在我们来看看图灵的证明。
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图灵是用反证法证明判定问题的答案为“否”。首先假设答案是“是”，然后证明这个假设会导致矛盾，从而证明答案是相反的。
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图灵首先假设，存在明确程序可以判定任意给定命题是否为真。然后他给出了这样一个命题：
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图灵命题：图灵机M对于给定输入I会在有限步后停机。
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根据前面的假设，将M和I作为输入，有一个明确程序可以判定这个命题是否为真。图灵证明，这个假设会导致矛盾。
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我们注意到有一些图灵机永远也不会停机。例如，考虑与前面例子类似的一个图灵机，只有两条规则：
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1.如果处于启动状态，读取到0或1，变为偶数状态，并往右移动一格。
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2.如果处于偶数状态，读取到0或1，变为启动状态，并往左移动一格。
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这个图灵机完全没有错误，但是它永远不会停机。用现在的话说是“死循环”——写程序时经常会碰到的bug。死循环有时候隐藏很深，让你很难发现。
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前面假设了有明确程序能够判定图灵命题是否成立，这就等价于说我们能设计一个图灵机来检查死循环。
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具体说，这个假设说的是我们能设计一个图灵机H，对于任何给定的图灵机M和输入I，都能在有限时间内判断M对输入I是会停机还是会进入死循环，停不了机。
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设计H的问题被称为“停机问题”。注意到H本身必须总是能停机，不管答案是“是”还是“否”。因此H不能通过在I上运行M来做到这一点，因为有可能M不会停机，从而H也停不了。H必须想其他办法做到这一点。
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虽然还不清楚H要如何做，但是我们假设了H是存在的。我们将运行H处理M和I记为H（M, I）。如果M对于I会停机就输出“是”（例如在带子上写一个1），如果M对于I不会停机就输出“否”（例如在带子上写一个0）。
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然后图灵把H变了一下，将图灵机M也作为输入，计算H（M, M），记为H′。H′执行的步骤同H一样，它确定M处理它自身的编码M时会不会停机。不过，在得到结果后，H′执行的动作同H不一样。H在回答“是”或“否”后停机。H′则只有答案是“M对于编码M不会停机”时才会停机。如果答案是“M对于编码M会停机”，H′就进入死循环，永不停机。
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这可能有点让人糊涂，希望你们能跟上。在计算理论的课程中，这是一个分水岭，一些学生会变得绝望，“我没法想明白这玩意！”一些学生则会拍手称快，“我喜欢这玩意！”
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当初我也有些糊涂，不过我还是喜欢上了这些。也许你和我一样。我们来深呼吸一下，然后继续。
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现在图灵抛出了最后的问题：
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如果用H′自身的编码作为H′的输入，H′会怎么做呢？
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到这个时候，拍手称快的学生也会开始头大。这确实很难想明白，不过我们还是试一试。
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先假设H′对于输入H′不会停机。但这样就有个问题。前面说了，H′以图灵机M的编码作为输入时，如果M对于M会停机，H′就会进入死循环，反之则停机。因此，如果H′对于输入M不能停机，就意味着M对于输入M会停机。发现会有什么结果了吧？H′对于输入H′不会停机意味着H′对于输入H′会停机。但是H′不能既停机又不停机，这样就导致了矛盾。
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因此假设H′对于H′不会停机是错误的，只能认为H′对于H′会停机。但是这样又会有问题。只有在M对于M不会停机时，H′才会停机。因此如果H′对于H′不会停机，H′对于H′就会停机。又导致了矛盾。
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这证明H′对于输入H′既不能停机也不能不停机。这是没法做到的，因此H′不可能存在。H′本身是H的特例，因此我们就证明了H不可能存在。
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因此不存在明确程序能解决停机问题，这就是图灵的最后结论。停机问题证明了判定问题的答案是“否”；不存在明确程序能判定任意数学命题是否为真。图灵从而彻底埋葬了希尔伯特的这个问题。
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从上面可以看出，图灵对停机问题不可计算性的证明，与哥德尔的不完备性定理具有同样的核心思想。哥德尔提出了可以编码数学命题的方法，从而让它们可以谈论自身。图灵则提出了编码图灵机的方法，让它们可以运行自身。
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在这里我总结一下图灵里程碑式的成就。首先，他严格定义了“明确程序”的概念。其次，他提出的图灵机为电子计算机的发明奠定了基础。第三，他改变了大多数人的观念——计算存在局限。
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