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因此假设H′对于H′不会停机是错误的，只能认为H′对于H′会停机。但是这样又会有问题。只有在M对于M不会停机时，H′才会停机。因此如果H′对于H′不会停机，H′对于H′就会停机。又导致了矛盾。
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这证明H′对于输入H′既不能停机也不能不停机。这是没法做到的，因此H′不可能存在。H′本身是H的特例，因此我们就证明了H不可能存在。
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因此不存在明确程序能解决停机问题，这就是图灵的最后结论。停机问题证明了判定问题的答案是“否”；不存在明确程序能判定任意数学命题是否为真。图灵从而彻底埋葬了希尔伯特的这个问题。
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从上面可以看出，图灵对停机问题不可计算性的证明，与哥德尔的不完备性定理具有同样的核心思想。哥德尔提出了可以编码数学命题的方法，从而让它们可以谈论自身。图灵则提出了编码图灵机的方法，让它们可以运行自身。
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在这里我总结一下图灵里程碑式的成就。首先，他严格定义了“明确程序”的概念。其次，他提出的图灵机为电子计算机的发明奠定了基础。第三，他改变了大多数人的观念——计算存在局限。
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哥德尔和图灵的命运
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19世纪时，数学和科学被认为无所不能。希尔伯特和他的追随者认为他们即将实现莱布尼茨的梦想：发现自动判定命题的方法，并证明数学无所不能。类似的，在第2章我们看到，拉普拉斯相信，根据牛顿定律，科学家原则上能预测宇宙将发生的一切。
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然而，20世纪早期在数学和物理上的发现表明，这个无所不能实际上并不存在。量子力学和混沌摧垮了精确预测的希望，哥德尔和图灵的结果则摧垮了数学和计算无所不能的希望。然而，图灵对停机问题的解决却为另一个伟大发现——可编程电子计算机——开辟了舞台。计算机后来给科学研究以及我们的生活带来了翻天覆地的变化。
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在20世纪30年代发表他们的成果之后，图灵和哥德尔的命运迥异。同当时许多人一样，在希特勒和第三帝国出现后，他们的命运被彻底改变了。哥德尔受到时断时续的精神问题困扰，他在维也纳一直待到1940年，最后为了不被征入德军服兵役，移民到美国。（据他的传记作者王浩说， [59] 在准备美国入籍面试时，他发现了美国宪法中的不一致性，结果他的朋友爱因斯坦在陪他去面试时只好不断同他聊天，以引开他的注意力。）
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哥德尔和爱因斯坦一样，加入了声名卓著的普林斯顿高等研究院，并继续在数理逻辑领域做出重要贡献。然而，在20世纪60—70年代，他的精神状况不断恶化。去世前，他得了严重的妄想症，认为有人要毒害他。他拒绝进食，最终死于饥饿。
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图灵也访问了普林斯顿高等研究院并得到了职位，但他决定回到英国。在第二次世界大战中，他加入了英国绝密的破解德军谜团密码（Enigma）的计划。以他的逻辑和统计学专长，再加上在电子计算上的成就，图灵领导研发了破译机器，最终几乎破解了所有使用谜团密码的情报。这使得英国在同德国作战时具有很大优势，并成为最终战胜纳粹的重要因素。
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战后，图灵在曼彻斯特大学参与研制了第一批可编程电子计算机（基于通用图灵机的思想）。此后他的兴趣又回到探索大脑和身体的“计算”原理，他研究了神经学和生理学，并在发育生物学理论上做了有影响的工作，还探讨了智能计算机的可能性。然而他的生活与当时的社会道德习惯相抵触：他没有隐瞒自己的同性恋倾向。在20世纪50年代的英国同性恋是非法的，图灵因为与男性发生关系而被逮捕，并被判决接受药物“治疗”以改变他的“状况”。他也被取消了接触政府机密的权力。这些事件最终导致他在1954年自杀。有意思的是，哥德尔是因为怕被下毒而把自己饿死，图灵则是吃了有氰化物的苹果把自己毒死。图灵死的时候年仅41岁。
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第5章 进化
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一切伟大的真理开始时都是大逆不道。 [60]
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——萧伯纳（George Bernard Shaw），《安纳扬斯卡，布尔什维克女皇》（Annajanska, Te Bolshevik Empress）
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热力学第二定律认为封闭系统的熵会一直增加直至最大。这一点我们通过直觉就能认识到——不仅在科学上是这样，在我们的日常生活中，在我们对历史的理解中，在艺术、文学、宗教中都是这样。佛偈云，“一切行无常，生者必有尽。” [61] 旧约先知以赛亚预言“地必如衣服渐渐旧了”。 [62] 莎士比亚则说：
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哦，夏日的芳香怎能抵抗， [63]
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多少个日夜前来猛烈地围攻，
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就如岩石般顽强也无法坚守，
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钢门结实，都得被时间磨空？
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这真让人沮丧，一切都不可阻挡地走向最大熵。但是大自然中又能见到与之不符的例子：生命。不管从哪方面看，生命系统都是复杂的——它们处于有序和无序之间的某个地方。我们可以看到，在漫长的历史中，生命系统变得越来越精巧复杂，而不是熵逐渐增加，越来越无序。
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我们已经知道，要让熵减少就必须做功。那么又是谁，是什么在创造和维持生命系统，并让它们越来越复杂呢？一些宗教认为这是神迹，但是在19世纪中叶，达尔文提出，生命进化是通过自然选择造就的。
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还没有哪种科学思想像达尔文的进化论这样动摇过人类对于他们自身的观念。它也许是科学史上最具争议的思想，但它也是最好的思想。哲学家丹内特（Daniel Dennett）曾说：
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如果要我选择一个历史上最重要的思想， [64] 我认为不是牛顿，也不是爱因斯坦，或是其他人，而是达尔文。自然选择的进化思想统一了生命和意义的疆域，还有可能会统一空间和时间、因果效应，机能和物理定律。
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